Question

1. Довести нерівності: 1) (a+b)2>4ab

Answer 1

Ответ: (a+b)2 > 4ab

Объяснение:(a+b)2 > 4ab:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Тепер порівняємо це з виразом 4ab:

4ab = 2*2ab

За нерівністю між середнім арифметичним та середнім геометричним, маємо:

(2ab)^(1/2) <= (a^2 + b^2)/2

Піднесемо це в квадрат:

2ab <= (a^2 + b^2)/2

Тоді:

4ab <= a^2 + b^2

Замінимо цю оцінку в початковому виразі і отримаємо:

(a+b)2 = a^2 + 2ab + b^2 > 4ab

Отже, довели нерівність (a+b)2 > 4ab.

Answer 2

Для доведення нерівності (a+b)^2 > 4ab, ми можемо використати метод доказу за допомогою алгебричних перетворень.

Почнемо з лівої сторони нерівності: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Тепер розглянемо праву сторону нерівності: 4ab

Щоб довести нерівність, нам потрібно показати, що ліва сторона більша за праву сторону.

Тепер порівняємо кожен член лівої сторони з правою стороною: a^2 + 2ab + b^2 > 4ab

Розкриваємо дужки: a^2 + 2ab + b^2 > 4ab

Згрупуємо подібні члени: a^2 - 2ab + b^2 > 0

Тепер ми можемо помножити кожен член на (-1), оскільки множення на від'ємне число не змінює знак нерівності: -a^2 + 2ab - b^2 < 0

Тепер ми можемо переписати це рівняння у квадратичній формі: (a - b)^2 < 0

Це рівняння не має розв'язків, оскільки квадрат завжди буде не меншим за нуль.

Отже, ми довели, що нерівність (a+b)^2 > 4ab є правильною для будь-яких значень a та b.