Question

Случайным образом выбирают нечетное двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что: а) его квадрат меньше 1000; б) его квадрат больше 9000; в) сумма квадратов его цифр больше 140; г) сумма квадратов его цифр не больше 10.

Answer 1

Запишем, какие числа удовлетворяют условию задачи:
11, 13, 15, ..., 99 - двузначные натуральные нечетные
Найдем их общее количество: последовательность является арифметической прогрессией, где:
$a_{1}=11$
$d=2$
$a_{n}=99=a_{1}+d*(n-1)$
$11+2n-2=99$
$n=45$ чисел
а) $\sqrt{900}\ \textless \ \sqrt{1000}\ \textless \ \sqrt{1024}$
$30\ \textless \ \sqrt{1000}\ \textless \ 32$
Нечетное число: $31^{2}=961\ \textless \ 1000$
Числа, удовлетворяющие условию: 11, 13, ..., 31
Их количество: $a_{k}=9+2k=31$
$k=11$
Вероятность: $P= \frac{11}{45}$
б) $\sqrt{9000}=30 \sqrt{10}$
$\sqrt{9}\ \textless \ \sqrt{10}\ \textless \ \sqrt{16}$
$3\ \textless \ \sqrt{10}\ \textless \ 4$
$90\ \textless \ 30\sqrt{10}\ \textless \ 120$
Условию будут удовлетворять числа: 91, 93, 95, 97, 99 (5 шт.)
Вероятность: $P= \frac{5}{45}=\frac{1}{9}$
в) $x^{2}+y^{2}>140$
Если х=9, то у=9
Если х=8, то у=9
Получаем числа: 99, 89 (2 шт.)
Вероятность: $P= \frac{2}{45}$
г) $x^{2}+y^{2} \leq 10$
Если х=1, то у=1; 3
Если х=2, то у=1
Если х=3, то у=1
Числа: 11, 13, 21, 31 (4 шт.)
Вероятность: $P= \frac{4}{45}$

Answer 2

Вычисление вероятностей для случайного выбора числа

Давайте рассмотрим задачу поочередно.

а) Вероятность того, что квадрат числа меньше 1000

Для нечетных двузначных чисел от 11 до 99:

1. Найдем количество таких чисел. 2. Посчитаем, сколько из них удовлетворяют условию квадрата меньше 1000.

б) Вероятность того, что квадрат числа больше 9000

Аналогично, для нечетных двузначных чисел от 11 до 99:

1. Найдем количество таких чисел. 2. Посчитаем, сколько из них удовлетворяют условию квадрата больше 9000.

в) Вероятность того, что сумма квадратов цифр больше 140

Для каждого нечетного двузначного числа от 11 до 99:

1. Разобьем число на цифры. 2. Найдем сумму квадратов цифр. 3. Посчитаем, сколько чисел удовлетворяют условию суммы квадратов цифр больше 140.

г) Вероятность того, что сумма квадратов цифр не больше 10

Аналогично, для каждого нечетного двузначного числа от 11 до 99:

1. Разобьем число на цифры. 2. Найдем сумму квадратов цифр. 3. Посчитаем, сколько чисел удовлетворяют условию суммы квадратов цифр не больше 10.

Давайте начнем с вычисления количества чисел, удовлетворяющих каждому из этих условий, а затем найдем вероятность для каждого случая.