Question

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры D , ограниченной линиями у=3-х^2 и у=х+1. С графиком

Answer 1

Объяснение:

$></p><p><img src=$

Ответ: S=4,5 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади плоской фигуры D, ограниченной линиями у = 3 - х^2 и у = х + 1, мы можем воспользоваться двойным интегралом. Сначала нам нужно определить область интегрирования и выразить ее в виде удобных пределов.

Сначала найдем точки пересечения двух графиков:

1. Уравнение y = 3 - x^2 2. Уравнение y = x + 1

Для нахождения точек пересечения решим уравнение:

3 - x^2 = x + 1

Переносим x и 1 на одну сторону:

x^2 + x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x + 2)(x - 1) = 0

Это уравнение имеет два корня: x = -2 и x = 1.

Теперь, чтобы найти пределы интегрирования для x, мы можем взять минимальное и максимальное значение x в области:

Минимальное значение x: -2 Максимальное значение x: 1

Теперь нам нужно определить пределы интегрирования для y. Мы видим, что линии ограничивают y в интервале от у = x + 1 (нижний предел) до у = 3 - x^2 (верхний предел).

Теперь мы готовы задать двойной интеграл для вычисления площади D:

\[S = \iint_D dA = \int_{-2}^1\int_{x+1}^{3-x^2} dy dx\]

Теперь выполним интегрирование. Сначала по y, затем по x:

\[S = \int_{-2}^1 [(3 - x^2) - (x + 1)] dx\]

\[S = \int_{-2}^1 (2 - x - x^2) dx\]

Теперь выполним интегрирование:

\[S = \left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^1\]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[S = \left[2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right] - \left[2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3}\right]\]

\[S = \left[2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right] - \left[-4 - 2 - \frac{-8}{3}\right]\]

Теперь вычислим значения:

\[S = \left[\frac{12}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right] - \left[-\frac{18}{6} - \frac{12}{6} + \frac{8}{6}\right]\]

\[S = \left[\frac{7}{6}\right] - \left[-\frac{22}{6}\right]\]

\[S = \frac{7}{6} + \frac{22}{6}\]

\[S = \frac{29}{6}\]

Итак, площадь плоской фигуры D, ограниченной линиями у = 3 - х^2 и у = х + 1, равна \(\frac{29}{6}\).