Question

Решить тригонометрическое уравнение sin3x=cosx

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Sin3x = 3sinx - 4sin³x => 3sinx - 4sin³x = cos(x)

Поделим на cos(x), не равный 0, т. к. при cos(x) = 0 уравнение решений не имеет (3-4<>0):

3tg(x) - 4sin^2(x)*tg(x) = 1

sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому sin^2(x) = 1 - cos^2(x).
- 4sin^2(x) = 4cos^2(x)-4.

3tg(x)  + (4cos^2(x)-4)*tg(x) = 1
3tg(x)  + 4cos^2(x)*tg(x)-4*tg(x) = 1
Ввведем обозначение: m = tg(x).
3m  + 4cos^2(x)*m-4m = 1
4cos^2(x)*m - m = 1
4m/(1+m*m) - m - 1 = 0
(4m - (m+1)(1+m*m))/(1+m*m) = 0
4m - (m+1)(1+m*m) = 0
4m - (m + mmm + 1 + mm) = 0
(m + mmm + 1 + mm) - 4m = 0

mmm + mm - 3m + 1= 0
По теореме Безу, при m = 1 этот многочлен делится на m - 1 без остачи.

Теперь этот многочлен можно разложить на множители:
(mm+2m-1)(m-1) = 0.

Решая это уравнение методом интервалов, найдем, что:
m = 1,
m = +- sqrt(2).

Вернемся к x:
tg(x) = 1 => x = p/4 + pn,
tg(x) = -1 +- sqrt(2) => x = arctg(-1 +- sqrt(2)) + pn.

Ответ: x E {p/4 + pn; arctg(-1 + sqrt(2)) + pn; arctg(-1 - sqrt(2)) + pn}.

Answer 3

Чтобы решить тригонометрическое уравнение sin(3x) = cos(x), мы можем использовать тригонометрические идентичности и методы решения уравнений.

Приведение к одной функции

Первым шагом в решении данного уравнения является приведение обеих частей к одной функции. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin(θ) = cos(π/2 - θ) для этой цели. Применяя эту идентичность, мы можем преобразовать уравнение следующим образом:

sin(3x) = cos(x) cos(π/2 - 3x) = cos(x)

Теперь, чтобы решить это уравнение, мы можем приравнять аргументы косинусов:

π/2 - 3x = x

Решение уравнения

Теперь мы можем решить получившееся уравнение:

π/2 - 3x = x

Переносим все термы с x на одну сторону уравнения:

π/2 = 4x

Делим обе части на 4:

x = π/8

Ответ

Таким образом, решением данного тригонометрического уравнения sin(3x) = cos(x) является x = π/8.