Question

Найдите наибольшее значение функций. y=3+4sinx+2x на отрезке (пи; 2пи)

Answer 1

Y`=4cosx+2
4cosx+2=0
cosx=-1/2
x=-2π/3∉[π;2π]
x=2π/3∈[π;2π]
y(π)=3+4*sinπ+2π=3+4*0+2π=3+2π≈9
y(2π/3)=3+4sin2π/3+4π/3=3+√3/2+4π/3≈7,9
y(2π)=3+4*sin2π+4π=3+4*0+4π≈15 наиб

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = 3 + 4\sin(x) + 2x \) на отрезке \( (\pi, 2\pi) \) мы можем воспользоваться производной функции. Найдем производную данной функции, приравняем ее к нулю, и найдем значения \( x \), для которых производная равна нулю. Затем проверим значения производной в окрестностях найденных точек, чтобы определить, являются ли они точками максимума или минимума.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции \( y = 3 + 4\sin(x) + 2x \).

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций, поэтому нам нужно найти производные каждого слагаемого по отдельности.

1. Производная константы \( 3 \) равна нулю, так как производная постоянной функции равна нулю. 2. Производная функции \( 4\sin(x) \) равна \( 4\cos(x) \) по правилу дифференцирования синуса. 3. Производная функции \( 2x \) равна \( 2 \) по правилу дифференцирования линейной функции.

Сложив эти производные, получим производную исходной функции:

\[ y' = 4\cos(x) + 2 \]

Нахождение точек экстремума

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

\[ 4\cos(x) + 2 = 0 \]

\[ 4\cos(x) = -2 \]

\[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \]

Так как \( \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) и \( \cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \), то уравнение имеет два решения на отрезке \( (\pi, 2\pi) \): \( x = \frac{2\pi}{3} \) и \( x = \frac{4\pi}{3} \).

Проверка на точки максимума или минимума

Для определения, являются ли найденные точки максимумами или минимумами, можно воспользоваться второй производной или тестом знаков.

Первая производная меняет знак с плюса на минус при \( x = \frac{2\pi}{3} \), что подтверждает, что это точка максимума. Аналогично, первая производная меняет знак с минуса на плюс при \( x = \frac{4\pi}{3} \), что означает, что это точка минимума.

Нахождение значений функции в точках экстремума

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке \( (\pi, 2\pi) \), нужно вычислить значения функции в точках максимума \( x = \frac{2\pi}{3} \) и выбрать наибольшее из них.

\[ y(\frac{2\pi}{3}) = 3 + 4\sin(\frac{2\pi}{3}) + 2\frac{2\pi}{3} \]

\[ y(\frac{2\pi}{3}) = 3 + 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{4\pi}{3} \]

\[ y(\frac{2\pi}{3}) = 3 + 2\sqrt{3} + \frac{4\pi