Question

при каких значениях параметра а корни уравнения (2-а)^2 - 3ах +2а являются действительными и оба больше 0,5?

Answer 1

Ответ:

a ∈ (16/17; 2)

Объяснение:

(2 – a)x² – 3ax + 2a = 0

При a = 2 квадратное уравнение вырождается в линейное, а следовательно имеет единственный корень, что не соответствует условию задачи, поэтому 2 – a ≠ 0 и a ≠ 2.

У квадратного уравнения имеется два различных корня тогда и только тогда, когда дискриминант строго больше нуля.

D = (–3a)² – 4·(2 – a)·2a = 9a² – 16a + 8a² = 17a² – 16a = a·(17a – 16)

Корнями уравнения a·(17a – 16) = 0 являются числа a₁ = 0 и a₂ = 16/17, и поэтому D = a·(17a – 16) > 0 при a < 0 или a > 16/17.

Разделим обе части исходного уравнения на (2 – a), чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \dfrac{3a}{2-a}x+\dfrac{2a}{2-a}=0$

Полученное уравнение задает параболу, причем ветви параболы направлены вверх. Одновременно оба корня уравнения будут лежать с одной стороны от точки x = 0.5, когда f(0.5) > 0 (см. рисунок):

$0.5^2 - \dfrac{3a}{2-a}\cdot0.5 + \dfrac{2a}{2-a}>0\\\\\dfrac{0.25(2-a) - 0.5\cdot3a + 2a}{2-a} > 0\\\\\dfrac{0.25a+0.5}{2-a} > 0$

"Корнями" являются a₁ = –2 и a₂ = 2, неравенство выполняется при –2 < a < 2.

По теореме Виета значение 3a / (2 – a) равно сумме корней уравнения. Тогда M = 3a / (4 – 2a) является арифметическим средним корней и лежит ровно посередине между ними. Оба корня будут лежать справа от x = 0.5, когда их среднее M > 0.5 (см. рисунок):

$\dfrac{3a}{4-2a} > 0.5\\\\\dfrac{3a}{2-a} > 1\\\\\dfrac{3a-2+a}{2-a} > 0\\\\\dfrac{2a-1}{2-a} > 0$

"Корнями" являются a₁ = 0.5 и a₂ = 2, неравенство выполняется при 0.5 < a < 2.

Таким образом, корни уравнения (2 – a)x² – 3ax + 2a = 0 являются действительными и оба больше 0.5 при одновременном выполнении системы из трех условий:

1. дискриминант строго больше нуля ⇒ a ∈ (–∞; 0) ∪ (16/17; +∞),

2. для приведенного уравнения справедливо f(0.5) > 0 ⇒ a ∈ (–2; 2),

3. среднее значение корней приведенного квадратного уравнения больше 0.5 ⇒ a ∈ (0.5; 2).

Пересекая полученные интервалы, получаем ответ: a ∈ (16/17; 2).

Answer 2

Для того чтобы корни уравнения $(2-a)^2 - 3aх + 2a$ были действительными и оба больше 0.5, нужно найти значения параметра $a$, при которых это условие выполняется.

Анализ уравнения

Давайте разберемся с уравнением $(2-a)^2 - 3aх + 2a$. Заметим, что это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Чтобы найти значения параметра $a$, при которых корни являются действительными и оба больше 0.5, мы можем использовать дискриминант.

Дискриминант

Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант положительный ($D > 0$), то уравнение имеет два действительных корня. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет один действительный корень. Если дискриминант отрицательный ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.

Применение к уравнению

Применим эту информацию к нашему уравнению $(2-a)^2 - 3aх + 2a$. Заметим, что у нас нет переменной $a$ в уравнении, поэтому мы не можем вычислить дискриминант напрямую. Однако, мы можем использовать условие, что оба корня должны быть больше 0.5, чтобы найти значения параметра $a$.

Решение уравнения

Для того чтобы оба корня были больше 0.5, нам нужно найти значения параметра $a$, при которых это условие выполняется. Давайте решим это уравнение.

$(2-a)^2 - 3aх + 2a > 0.5$

Решение этого уравнения может быть достаточно сложным, поскольку оно содержит две переменные $a$ и $x$. Но мы можем использовать численные методы или графический метод, чтобы найти значения параметра $a$, при которых это неравенство выполняется.

Заключение

В итоге, чтобы найти значения параметра $a$, при которых корни уравнения $(2-a)^2 - 3aх + 2a$ являются действительными и оба больше 0.5, необходимо решить неравенство $(2-a)^2 - 3aх + 2a > 0.5$. Для этого можно использовать численные методы или графический метод.