Question

1) Вычислите определенный интеграл S от 1 до 3 ((4x^3-x^2-2x-3)/x^2)dx2) Докажите, что функция y=x^3+(sin^3x)/3-5 является первообразной для функции y=3x^2+sin^2xcosx

Answer 1

1) ∫(4x^3-x^2-2x-3)dx/x^2 (от 1 до 3) = ∫(4x-1-2/x-3/x^2)dx (от 1 до 3) = 2x^2-x-2ln|x|+3/x (от 1 до 3) = F(3)-F(1) = 18-3-2ln3 + 1 - (2-1-2ln1+3) = 16-2ln3 - 4 = 12-2ln3=12-ln9

2) Если функция является первообразной другой функции, то производная первой функции должна равняться другой функции.

y'=(x^3+(sin^3(x))/3 -5)' = 3x^2 + 3sin^2(x)*cosx*1/3 = 3x^2 + sin^2(x)cosx
Производная равна второй фунции, значит, первая функция является первообразной второй функции, что и требовалось доказать 

Answer 2

1) Вычисление определённого интеграла

Интеграл, который нужно вычислить, имеет вид:

\[ \int_{1}^{3} \frac{4x^3 - x^2 - 2x - 3}{x^2} \, dx \]

Для начала, разложим дробь на части:

\[ \frac{4x^3 - x^2 - 2x - 3}{x^2} = 4x - 1 - \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} \]

Теперь интегрируем каждую часть по отдельности:

\[ \int 4x \, dx - \int 1 \, dx - \int \frac{2}{x} \, dx - \int \frac{3}{x^2} \, dx \]

\[ 4 \int x \, dx - \int 1 \, dx - 2 \int \frac{1}{x} \, dx - 3 \int \frac{1}{x^2} \, dx \]

\[ 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x - 2 \cdot \ln{|x|} - 3 \cdot \frac{-1}{x} + C \]

Теперь вычисляем значение определённого интеграла:

\[ S = \left[ 2x^2 - x - 2 \ln{|x|} + \frac{3}{x} \right]_{1}^{3} \]

\[ S = (18 - 3 - 2 \ln{3} + \frac{3}{3}) - (2 - 1 - 2 \ln{1} + \frac{3}{1}) \]

\[ S = (15 - 2 \ln{3} + 1) - (1 - 2 \ln{1} + 3) \]

\[ S = 15 - 2 \ln{3} + 1 - 1 + 2 \ln{1} - 3 \]

\[ S = 12 - 2 \ln{3} \]

Таким образом, значение определённого интеграла \( S \) равно \( 12 - 2 \ln{3} \).

2) Доказательство функции y=x^3+(sin^3x)/3-5 является первообразной для функции y=3x^2+sin^2xcosx

Для доказательства того, что функция \( y = x^3 + \frac{{\sin^3x}}{3} - 5 \) является первообразной для функции \( y = 3x^2 + \sin^2x\cosx \), мы можем продифференцировать первообразную и убедиться, что получим исходную функцию.

Дифференцируем функцию \( y = x^3 + \frac{{\sin^3x}}{3} - 5 \):

\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + \sin^2x\cosx \]

Полученная производная совпадает с исходной функцией \( y = 3x^2 + \sin^2x\cosx \), что подтверждает, что функция \( y = x^3 + \frac{{\sin^3x}}{3} - 5 \) является первообразной для функции \( y = 3x^2 + \sin^2x\cosx \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна дополнительная информация, не стесняйтесь обращаться!