Question

Знайдіть найменше і найбільше значення f(x)=(x-1)²(x-4)²

Answer 1

Решение.
Находим первую производную функции:
y' = (x-4)² * (2*x-2)+(x-1)² * (2*x-8)
или
y' = 2(x-4)(x-1)(2*x-5)
Приравниваем ее к нулю:
2(x-4)(x-1)(2*x-5) = 0
x₁ = 1
x₂ = 5/2
x₃ = 4
Вычисляем значения функции 
f(1) = 0
f(5/2) = 81/16
f(4) = 0
Ответ: fmin = 0; fmax = 81/16
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 2(x-4)²+2(x-1)²+2(2*x-8)(2*x-2)
или
y'' = 12*x ²- 60*x + 66
Вычисляем:
y''(1) = 18>0 - значит точка x = 1 точка минимума функции.
y''(4) = 18>0 - значит точка x = 4 точка минимума функции.

Answer 2

Щоб знайти найменше і найбільше значення функції f(x) = (x-1)²(x-4)², спочатку розглянемо її властивості та поведінку.

Властивості функції:

1. Функція f(x) є поліноміальною функцією четвертого степеня. 2. Коефіцієнт при найвищій степені (x^4) дорівнює 1. 3. Функція f(x) є парною, оскільки має симетрію відносно осі y.

Знаходження найменшого значення:

1. Для того, щоб знайти найменше значення функції f(x), треба знайти її вершину. 2. Вершина параболи знаходиться у точці, в якій похідна функції дорівнює нулю. 3. Обчислимо похідну функції f(x) за правилом похідної добутку: f'(x) = 2(x-1)(x-4)(2x-5). 4. Прирівняємо похідну до нуля та розв'яжемо рівняння, щоб знайти значення x: 2(x-1)(x-4)(2x-5) = 0. 5. Розв'яжемо це рівняння і знайдемо значення x: x = 1, x = 4, x = 5/2. 6. Для знаходження найменшого значення функції, підставимо ці значення x у функцію f(x) і знайдемо відповідні значення y. - При x = 1, f(1) = (1-1)²(1-4)² = 0. - При x = 4, f(4) = (4-1)²(4-4)² = 0. - При x = 5/2, f(5/2) = (5/2-1)²(5/2-4)² = (3/2)²(-3/2)² = 9/4 * 9/4 = 81/16.

Таким чином, найменше значення функції f(x) дорівнює 0, і досягається при x = 1 та x = 4.

Знаходження найбільшого значення:

1. Функція f(x) є поліноміальною функцією четвертого степеня, тому найбільше значення буде або нескінченності (якщо графік функції відкритий угору), або буде досягатися в одній з кінцевих точок діапазону. 2. Оскільки функція f(x) є парною та симетрична відносно осі y, достатньо розглянути значення функції лише для додатних значень x. 3. Підставимо додатні значення x в функцію f(x) і знайдемо найбільші значення. - При x = 1, f(1) = (1-1)²(1-4)² = 0. - При x = 4, f(4) = (4-1)²(4-4)² = 0. - При x = 5/2, f(5/2) = (5/2-1)²(5/2-4)² = (3/2)²(-3/2)² = 9/4 * 9/4 = 81/16.

Таким чином, найбільше значення функції f(x) також дорівнює 0, і досягається при x = 1 та x = 4.

Отже, найменше і найбільше значення функції f(x) = (x-1)²(x-4)² дорівнюють 0 і досягаються при x = 1 та x = 4.