Question

Найдите производную функцию. 1.)f(x)=x^2(x+5) 2.)f(x)=x^2под корнем 2х 3.)f(x)=x+2/x+1 4.)f(x)=x^5cos3x

Answer 1

1.)f(x)=x^2(x+5)-правильный ответ

Answer 2

Для каждой из функций найдем их производные.

1. \( f(x) = x^2(x+5) \)

Для нахождения производной данной функции применим правило производной произведения и правило производной от монома.

1. Правило производной произведения: \[ (uv)' = u'v + uv' \] 2. Правило производной от монома: \[ (ax^n)' = anx^{n-1} \]

Теперь найдем производную функции \( f(x) = x^2(x+5) \):

\[ f'(x) = (x^2)'(x+5) + x^2(x+5)' \] \[ f'(x) = (2x)(x+5) + x^2(1) \] \[ f'(x) = 2x^2 + 10x + x^2 \] \[ \boxed{f'(x) = 3x^2 + 10x} \]

2. \( f(x) = x^2 \sqrt{2x} \)

Для нахождения производной данной функции применим правило производной произведения и правило производной от монома.

1. Правило производной произведения: \[ (uv)' = u'v + uv' \]

2. Правило производной от монома: \[ (ax^n)' = anx^{n-1} \]

Теперь найдем производную функции \( f(x) = x^2 \sqrt{2x} \):

\[ f'(x) = (x^2)' \sqrt{2x} + x^2(\sqrt{2x})' \] \[ f'(x) = 2x \sqrt{2x} + x^2 \left( \frac{1}{2\sqrt{2x}} \right) \] \[ f'(x) = 2x \sqrt{2x} + \frac{x^2}{2\sqrt{2x}} \] \[ \boxed{f'(x) = 2x \sqrt{2x} + \frac{x}{2\sqrt{2x}}} \]

3. \( f(x) = \frac{x+2}{x+1} \)

Для нахождения производной данной функции применим правило производной от частного и правило производной суммы.

1. Правило производной от частного: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] 2. Правило производной суммы: \[ (u + v)' = u' + v' \]

Теперь найдем производную функции \( f(x) = \frac{x+2}{x+1} \):

\[ f'(x) = \frac{(x+2)'(x+1) - (x+2)(x+1)'}{(x+1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{1(x+1) - (x+2)1}{(x+1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x+1 - x - 2}{(x+1)^2} \] \[ \boxed{f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}} \]

4. \( f(x) = x^5 \cos(3x) \)

Для нахождения производной данной функции применим правило производной произведения и правило производной от произведения функций.

1. Правило производной произведения: \[ (uv)' = u'v + uv' \]

2. Правило производной от произведения функций: \[ (uv)' = u'v + uv' \]

Теперь найдем производную функции \( f(x) = x^5 \cos(3x) \):

\[ f'(x) = (x^5)' \