Question

y=xe^-x найдите точки экстремума функции

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции y = xe^-x, мы должны сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем решим полученное уравнение, чтобы найти значения x, соответствующие точкам экстремума.

Нахождение производной функции

Начнем с нахождения производной функции y = xe^-x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций (производная произведения равна произведению производных):

y' = (x)' * (e^-x) + x * (e^-x)'

Производная функции x равна 1, а производная функции e^-x равна -e^-x. Подставим эти значения:

y' = 1 * e^-x + x * (-e^-x)

Упростим выражение:

y' = e^-x - xe^-x

Приравнивание производной к нулю

Теперь приравняем производную y' к нулю и решим полученное уравнение:

e^-x - xe^-x = 0

Мы можем вынести e^-x за скобки:

e^-x (1 - x) = 0

Так как e^-x всегда положительно, уравнение будет равно нулю только тогда, когда (1 - x) = 0. Решим это уравнение:

1 - x = 0 x = 1

Определение типа экстремума

Теперь, когда мы нашли значение x = 1, мы можем определить тип экстремума. Для этого воспользуемся второй производной, которая позволяет определить, является ли точка экстремума минимумом или максимумом.

Возьмем производную от y' по x:

y'' = (e^-x - xe^-x)'

Производная от e^-x равна -e^-x, а производная от -xe^-x равна -e^-x + xe^-x. Подставим значения:

y'' = -e^-x + e^-x - xe^-x

Упростим выражение:

y'' = -xe^-x

Определение типа экстремума

Теперь подставим найденное значение x = 1 во вторую производную:

y''(1) = -(1)e^-(1) = -e^(-1)

Если y''(1) > 0, то это будет минимум, если y''(1) < 0, то это будет максимум.

В нашем случае, -e^(-1) < 0, поэтому точка x = 1 будет являться максимумом функции y = xe^-x.

Найденные точки экстремума

Итак, мы нашли единственную точку экстремума функции y = xe^-x, которая находится в точке (1, e^-1). Это максимум функции.