Question

Дослідити функцію за допомогою похідної та побудувати її графік y=x³-2x²-x​

Answer 1

Відповідь: фото

Пояснення:

критичні точки належать і проміжку зростання, і проміжку спадання. Тому, квадратні дужки, якщо дослідження не в таблиці.

Answer 2

Для того чтобы исследовать функцию \(y = x^3 - 2x^2 - x\), используя производные, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем производные функции \(y\) по \(x\), которые позволят нам определить экстремумы, точки перегиба и другие важные характеристики функции.

2. Построим график функции, чтобы визуально оценить ее поведение.

3. Проанализируем результаты исследования производных и графика.

Шаг 1: Нахождение производных функции \(y\)

Начнем с нахождения производных функции \(y = x^3 - 2x^2 - x\). Есть три основные производные, которые нам интересны: первая производная (\(y'\)), вторая производная (\(y''\)) и третья производная (\(y'''\)).

1. Первая производная: \[y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 - x)\] Применяя правила дифференцирования для мономов, получаем: \[y' = 3x^2 - 4x - 1\]

2. Вторая производная: \[y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x - 1)\] Снова применяя правила дифференцирования для мономов, получаем: \[y'' = 6x - 4\]

3. Третья производная: \[y''' = \frac{d}{dx}(6x - 4)\] \[y''' = 6\]

Шаг 2: Построение графика функции \(y\)

Теперь, когда мы знаем производные, мы можем построить график функции \(y = x^3 - 2x^2 - x\). Для этого нам нужно определить точки экстремумов, точки перегиба и поведение функции на разных интервалах.

- Экстремумы: Для определения экстремумов функции, найдем значения \(x\), при которых \(y' = 0\). \[3x^2 - 4x - 1 = 0\] Можно решить это квадратное уравнение, чтобы найти значения \(x\), где \(y'\) равно нулю. Далее, подставив найденные значения \(x\) в функцию \(y\), мы найдем соответствующие значения \(y\) для точек экстремумов.

- Точки перегиба: Точки перегиба можно найти, рассматривая третью производную. Функция будет иметь точку перегиба, когда \(y''' = 0\).

- Поведение функции: Анализируя знаки первой и второй производных, можно определить, где функция возрастает, убывает, имеет локальные минимумы и максимумы.

Шаг 3: Анализ результатов

После нахождения точек экстремумов, точек перегиба и определения поведения функции, вы сможете построить полный график функции \(y = x^3 - 2x^2 - x\) и проанализировать его характеристики.

Для более конкретных результатов и построения графика, вам нужно решить уравнение для точек экстремумов и определить, где \(y''\) равно нулю для точек перегиба.