Question

Помогите пожалуйста. Исследовать на экстремум функцию y=-2x^3+3x^2.

Answer 1

Pervaja proizvodnaja -6 x kv +6x.
-6xkv + 6x =0, -xkv +x=0, x(-x+1)=0, x=0 a x=1
Vtoraja proizvodnaja -12x+6
Dlja x=0 vtoraja proizvodnaja = 6 i poetomy v etoj točke budet minimum.
Dlja x=1 vtoraja proizvodnaja =-6 i poetomy v etoj točke budet maximum

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы (максимумы и минимумы), нам нужно найти её производные, найти точки, где производные равны нулю или не существуют, и затем анализировать поведение функции в окрестности этих точек. Функция y = -2x^3 + 3x^2, в данном случае, будет исследоваться на экстремумы по переменной x.

1. Найдем первую производную функции y по x:

y' = d/dx (-2x^3 + 3x^2) y' = -6x^2 + 6x

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

-6x^2 + 6x = 0

Поделим обе стороны на 6:

-x^2 + x = 0

Факторизуем:

x(x - 1) = 0

Из этого уравнения видно, что x может быть равен 0 или 1.

3. Теперь найдем вторую производную, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами:

y'' = d^2/dx^2 (-2x^3 + 3x^2) y'' = -12x + 6

4. Оценим знак второй производной в точках x = 0 и x = 1:

• Для x = 0: y''(0) = -12(0) + 6 = 6
• Для x = 1: y''(1) = -12(1) + 6 = -6

Теперь анализируем результаты:

• При x = 0, вторая производная положительна (6), что означает, что у нас есть локальный минимум в этой точке.
• При x = 1, вторая производная отрицательна (-6), что указывает на локальный максимум.

Таким образом, у функции y = -2x^3 + 3x^2 есть локальный минимум в точке x = 0 и локальный максимум в точке x = 1. Значения функции в этих точках можно найти, подставив их в исходную функцию:

• Для x = 0: y(0) = -2(0)^3 + 3(0)^2 = 0
• Для x = 1: y(1) = -2(1)^3 + 3(1)^2 = 1

Таким образом, минимум функции равен 0 (находится в точке x = 0), а максимум функции равен 1 (находится в точке x = 1).