Question

Найти угол между векторами a и b, если известно, что (2а-3b)^2+(a-3b)^2=45 |a|=1, |b|=2

Answer 1

(2а-3b)^2+(a-3b)^2=45
4a^2-12ab+9b^2+a^2-6ab+9b^2=45
5a^2-18ab+18b^2=45
5|a|^2-18ab+18|b|^2=45
5*1^2-18ab+18*2^2=45
5-18ab+72=45
-18ab=-32
ab=32/18=16/9
|a|*|b|*cosx=16/9
1*2*cosx=16/9
cosx=8/9
x=arccos(8/9)

Answer 2

Для нахождения угла между векторами a и b, нам необходимо знать их координаты. В данном случае, у нас дано выражение (2а-3b)^2 + (a-3b)^2 = 45, а также длины векторов |a| = 1 и |b| = 2.

Прежде чем продолжить, давайте раскроем квадраты в выражении (2а-3b)^2 + (a-3b)^2 = 45:

(2а-3b)^2 + (a-3b)^2 = 45 (4а^2 - 12ab + 9b^2) + (a^2 - 6ab + 9b^2) = 45 4а^2 - 12ab + 9b^2 + a^2 - 6ab + 9b^2 = 45 5а^2 - 18ab + 18b^2 = 45

Теперь мы имеем уравнение 5а^2 - 18ab + 18b^2 = 45.

Далее, мы можем использовать длины векторов |a| = 1 и |b| = 2, чтобы найти значения a^2 и b^2:

|a|^2 = 1^2 = 1 |b|^2 = 2^2 = 4

Заменим a^2 и b^2 в уравнении:

5(1) - 18ab + 18(4) = 45 5 - 18ab + 72 = 45 -18ab = 45 - 72 - 5 -18ab = -32

Теперь найдем значение ab:

ab = -32 / -18 ab = 16 / 9

После нахождения значения ab, мы можем использовать его для нахождения косинуса угла между векторами a и b. Косинус угла между векторами может быть выражен как:

cos(θ) = ab / (|a| * |b|)

Подставляя значения, получаем:

cos(θ) = (16 / 9) / (1 * 2) cos(θ) = 16 / 18 cos(θ) = 8 / 9

Теперь мы можем использовать обратный косинус (арккосинус) для нахождения значения угла θ:

θ = arccos(8 / 9)

Используя математический калькулятор или таблицу значений, мы можем найти приближенное значение угла θ.