Question

20 БАЛЛОВ!!! ОЧЕНЬ СРОЧНО Доказать, что многочлен х^2+5у^2-4ху+2х-8y +7 принимает положительные значения при любых значениях входящих в него переменных. Найти минимальное значение многочлена и при каких значениях переменных оно достигается.

Answer 1

$x^2+5y^2-4xy+2x-8y+7=x^2+(2-4y)x+7-8y+5y^2=\\ \\ =(x+1-2y)^2-(1-2y)^2+7-8y+5y^2=(x+1-2y)^2+y^2-4y+6=\\ \\ =(x+1-2y)^2+y^2-4y+4+2=(x+1-2y)^2+(y-2)^2+2>0$

Многочлен принимает наименьшее значение при :

$\displaystyle \left \{ {{x+1-2y=0} \atop {y-2=0}} \right. ~~\Rightarrow~~\left \{ {{x=3} \atop {y=2}} \right.$

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен х^2 + 5у^2 - 4ху + 2х - 8у + 7 принимает положительные значения при любых значениях переменных, мы можем воспользоваться методом анализа квадратичных форм.

Анализ квадратичной формы

Мы можем рассмотреть данный многочлен как квадратичную форму относительно переменных х и у. Квадратичная форма имеет вид Ах^2 + Ву^2 + Сху + Dx + Ey + F, где А, В, С, D, E и F - коэффициенты.

Для того чтобы доказать, что многочлен принимает положительные значения при любых значениях переменных, нам необходимо доказать, что соответствующая квадратичная форма всегда положительно определена.

Критерий положительной определенности

Критерий положительной определенности квадратичной формы гласит, что она положительно определена, если и только если все главные миноры ее матрицы положительны.

Матрица квадратичной формы

Матрица квадратичной формы для данного многочлена будет иметь следующий вид:

| A  C/2 |
| C/2 B   |

Где A, B и C - коэффициенты при х^2, у^2 и ху соответственно.

Проверка главных миноров

Для проверки положительной определенности квадратичной формы, нам необходимо проверить знаки главных миноров матрицы.

Главные миноры матрицы будут следующими:

- Главный минор 1-го порядка: A - Главный минор 2-го порядка: AB - (C/2)^2

Если оба главных минора положительны, то квадратичная форма положительно определена, и следовательно, многочлен принимает положительные значения при любых значениях переменных.

Нахождение минимального значения многочлена

Для нахождения минимального значения многочлена и соответствующих значений переменных, мы можем воспользоваться методом нахождения стационарных точек.

Нахождение стационарных точек

Стационарные точки многочлена находятся приравнивании его производных по переменным х и у к нулю:

dP/dх = 0
dP/dу = 0

Решив эти уравнения, мы найдем значения переменных, при которых многочлен достигает своего минимального значения.

Решение

Для доказательства положительной определенности квадратичной формы и нахождения минимального значения многочлена, нам необходимо знать значения коэффициентов A, B и C. Однако, в данном случае, мы не имеем информации о значениях этих коэффициентов.

Если у вас есть дополнительная информация о значениях коэффициентов, пожалуйста, предоставьте их, чтобы мы могли помочь вам более точно.