Question

cos2x=sin(x+pi/2) Найдите корни этого уравнения,принадлежащие промежутку [-2pi;-pi]

Answer 1

cos2x=cosx

2cos^2x-1-cosx=0

пусть cosx=t? -1<=t<=1

2t^2-t-1=0

D=1+8=9, d=3

t=-1/2

t=1

 

cosx=-1/2                                                      cosx=1

x=+-pi/3+2pi*n, n принадлежит z              x=2pi*n, n принадлежит z

 

1. -2pi<=pi/3+2pi*n<=-pi (умножаем на 3)

     -6pi<=pi+6pi*n<=-3pi (переносим pi)

     -5pi<=6pi*n<=-4pi (делим на 6pi)

    -5/6<=n<=-4/6

корней нет

 

2. -2pi<=-pi/3+2pi*n<=-pi (умножаем на 3)

    -6pi<=-pi+6pi*n<=-3pi (переносим pi)

    -5pi<=6pi*n<=-2pi (делим на 6pi)

    -5/6<=n<=-2/6

    корней нет

 

3. -2pi<=2pi*n<=-pi (делим на 2pi)

    -1<=n<=-1/2

n=-1,  корень: -2pi

n=0, корень 0

Answer 2

Чтобы найти корни уравнения cos(2x) = sin(x + π/2) в заданном промежутке [-2π, -π], мы должны решить уравнение и найти значения x, которые удовлетворяют условию.

Давайте начнем с уравнения cos(2x) = sin(x + π/2). Вспомним некоторые свойства тригонометрии: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) и sin(x + π/2) = cos(x).

Заменив эти выражения в исходном уравнении, получим:

1 - 2sin^2(x) = cos(x)

Теперь преобразуем уравнение, чтобы выразить sin(x) через cos(x):

2sin^2(x) + cos(x) - 1 = 0

Давайте решим это уравнение.

Решение уравнения

Мы можем решить уравнение, используя метод подстановки или факторизацию. В данном случае, факторизация будет удобнее. Давайте разложим выражение на множители:

(2sin(x) - 1)(sin(x) + 1) = 0

Теперь решим каждый множитель отдельно:

1) 2sin(x) - 1 = 0

2sin(x) = 1 sin(x) = 1/2 x = π/6, 5π/6 2) sin(x) + 1 = 0

sin(x) = -1 x = -π/2 Таким образом, уравнение имеет три корня: x = π/6, 5π/6, -π/2.

Проверка корней

Теперь давайте проверим, какие из этих корней принадлежат заданному промежутку [-2π, -π]. Для этого, подставим каждое значение x в неравенство и проверим его выполнение:

1) x = π/6:

-2π ≤ π/6 ≤ -π Это условие не выполняется. 2) x = 5π/6:

-2π ≤ 5π/6 ≤ -π Это условие также не выполняется. 3) x = -π/2:

-2π ≤ -π/2 ≤ -π Это условие выполняется. Таким образом, корень x = -π/2 является единственным корнем уравнения cos(2x) = sin(x + π/2) в заданном промежутке [-2π, -π].

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.