Question

Найти предел F=(1-cos(7x)^2)/(x^2) при х->0

Answer 1

Сделаем замену сначала: 7x=t, т.е $x=\frac{t}{7}$

Поскольку x->0, то и 7x->0, значит и t->0.

Подставляем в наш предел то что получилось с учетом замены:

 

 

 $\lim_{t \to 0} \frac{1-cos(t^2)}{\frac{t^2}{7^2}}= \\=\lim_{t \to 0} \frac{49(1-cos(t^2))}{t^2}$

Поскольку нас неопределенность 0/0 можно использовать правило Лопиталя.

Получаем:

$\lim_{t \to 0} \frac{49(2t\cdot sin(t^2))}{2t}=\\ =\lim_{t \to 0} 49(sin(t^2))=0$

 

 

 

 

 Возможно я не так понял задание и там имелось в виду:

 

 $\lim_{x \to 0} \frac{1-cos^2(7x)}{x^2}$

 

 Тогда используем ту же самую замену.:

 

 $\lim_{t \to 0} \frac{49(1-cos^2(t))}{t^2}= \\= \lim_{t \to 0} \frac{49(sin^2(t))}{t^2}= \\=\lim_{t \to 0} 49\cdot \frac{(sin(t))}{t}\cdot \frac{(sin(t))}{t}$

 

 

 

Видим что здесь произведение двух "первых замечательных пределов", а именно:

 

 

 

 

 

$\lim_{t \to \0} \frac{sin(t)}{t}=1$

 

 

Используем этот факт и получим: $\lim_{t \to 0} 49\cdot \frac{(sin(t))}{t}\cdot \frac{(sin(t))}{t}=49$ 

 

Как-то так. Но обязательно проверь.

 

 

 

 

Answer 2

Для нахождения предела функции \( F(x) = \frac{{(1 - \cos(7x))^2}}{{x^2}} \) при \( x \to 0 \) мы можем воспользоваться методом пошагового анализа.

Использование тригонометрических тождеств

Для начала, заметим, что можно преобразовать выражение \( (1 - \cos(7x))^2 \) с помощью тригонометрического тождества \( \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \). Таким образом, \( (1 - \cos(7x))^2 = \left(\frac{{\sin^2(7x)}}{2}\right)^2 = \frac{{\sin^4(7x)}}{4} \).

Преобразование функции

Теперь мы можем переписать функцию \( F(x) \) в следующем виде: \[ F(x) = \frac{{\frac{{\sin^4(7x)}}{4}}}{{x^2}} \]

Разложение функции

После этого, мы можем воспользоваться разложением функции в ряд Тейлора в окрестности точки \( x = 0 \). Разложим \( \frac{{\sin^4(7x)}}{4} \) и \( x^2 \) в ряды Тейлора:

\[ \sin(7x) = 7x - \frac{{(7x)^3}}{3!} + \frac{{(7x)^5}}{5!} - \frac{{(7x)^7}}{7!} + \ldots \] \[ \frac{{\sin^4(7x)}}{4} = \frac{{(7x)^4}}{4!} - 7x^2\frac{{(7x)^4}}{3!} + \frac{{(7x)^4}}{5!} - \frac{{(7x)^4}}{7!} + \ldots \]

\[ x^2 = x^2 \]

Вычисление предела

Теперь мы можем подставить разложения в исходную функцию и вычислить предел:

\[ F(x) = \frac{{\frac{{(7x)^4}}{4!} - 7x^2\frac{{(7x)^4}}{3!} + \frac{{(7x)^4}}{5!} - \frac{{(7x)^4}}{7!} + \ldots}}{{x^2}} \]

\[ F(x) = \frac{{\frac{{(7x)^4}}{4!} - 7x^2\frac{{(7x)^4}}{3!} + \frac{{(7x)^4}}{5!} - \frac{{(7x)^4}}{7!} + \ldots}}{{x^2}} \]

\[ F(x) = \frac{{(7x)^4}}{4!x^2} - 7\frac{{(7x)^4}}{3!} + \frac{{(7x)^4}}{5!x^2} - \frac{{(7x)^4}}{7!x^2} + \ldots \]

После этого, мы можем упростить полученное выражение и заметить, что все слагаемые в сумме содержат множитель \( x^2 \), который сокращается с знаменателем. Таким образом, предел данной функции при \( x \to 0 \) равен 0.

\[ \lim_{{x \to 0}} F(x) = 0 \]

Таким образом, предел функции \( F(x) \) при \( x \to 0 \) равен 0.