Question

Решите уравнение 2sin ^2x-5cosx+1=0

Answer 1

Применены тригонометрические формулы, замена переменной

Answer 2

Для решения уравнения \(2\sin^2x - 5\cos x + 1 = 0\) мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы выразить все функции через одну функцию (например, \(\sin x\) или \(\cos x\)). Затем мы сможем решить полученное уравнение относительно этой функции.

Преобразование уравнения с использованием тригонометрических тождеств

Мы знаем, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Мы можем выразить \(\sin^2 x\) через \(\cos x\) с использованием этого тождества: \[\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\]

Теперь мы можем заменить \(\sin^2 x\) в исходном уравнении: \[2(1 - \cos^2 x) - 5\cos x + 1 = 0\] \[2 - 2\cos^2 x - 5\cos x + 1 = 0\] \[-2\cos^2 x - 5\cos x + 3 = 0\]

Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Мы можем решить его, используя дискриминант и общую формулу для решения квадратных уравнений: \[a\cos^2 x + b\cos x + c = 0\]

где \(a = -2\), \(b = -5\), \(c = 3\).

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения вычисляется по формуле: \[D = b^2 - 4ac\]

Подставим значения \(a\), \(b\), и \(c\) в формулу для дискриминанта: \[D = (-5)^2 - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49\]

Так как дискриминант \(D\) положителен (\(D > 0\)), у нас будет два действительных корня уравнения.

Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь мы можем использовать общую формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения \(a\), \(b\), и \(D\) в формулу для нахождения корней: \[\cos x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2(-2)}\] \[\cos x = \frac{5 \pm 7}{-4}\]

Таким образом, мы получаем два решения для \(\cos x\): \[\cos x_1 = \frac{5 + 7}{-4} = 3\] \[\cos x_2 = \frac{5 - 7}{-4} = -\frac{1}{2}\]

Нахождение значений \(x\)

Теперь, когда у нас есть значения \(\cos x\), мы можем найти соответствующие значения \(x\) с помощью обратной тригонометрической функции \(\arccos\).

Таким образом, получаем: \[x_1 = \arccos(3)\] \[x_2 = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\]

Однако, стоит отметить, что \(\cos\) функция принимает значения только в интервале от -1 до 1, поэтому уравнение \(2\sin^2x - 5\cos x + 1 = 0\) не имеет решений в действительных числах.