Question

Помогите решить. ((cos^4(2A)-sin^4(2A))/cos(4A))-(cos(2A)-sin(2A))^2

Answer 1

$\frac{cos^42x-sin^42x}{cos4x}-(cos2x-sin2x)^2= \frac{(cos^22x-sin^22x)(cos^22x+sin^22x)}{cos^22x-sin^22x}- \\ -cos^22x+2sin2xcos2x-sin^22x=cos^22x+sin^22x-cos^22x+ \\ +2sin2xcos2x-sin^22x=2sin2xcos2x=sin4x$

Answer 2

Давайте посмотрим на выражение и разберемся, как его решить.

Выражение, которое вам дано, выглядит следующим образом:

((cos^4(2A)-sin^4(2A))/cos(4A))-(cos(2A)-sin(2A))^2

Давайте разложим каждое слагаемое по отдельности и посмотрим, как мы можем его упростить.

Разложение первого слагаемого

Начнем с первого слагаемого ((cos^4(2A)-sin^4(2A))/cos(4A)).

Мы можем заметить, что в числителе у нас есть разность квадратов:

cos^4(2A) - sin^4(2A) = (cos^2(2A) - sin^2(2A)) * (cos^2(2A) + sin^2(2A))

Теперь мы можем использовать тригонометрическую формулу:

cos^2(2A) - sin^2(2A) = cos(2A + 2A) * cos(2A - 2A)

cos(2A + 2A) = cos(4A) cos(2A - 2A) = cos(0) = 1

Подставив это обратно в наше выражение, мы получим:

((cos^4(2A)-sin^4(2A))/cos(4A)) = ((cos(4A) * (cos^2(2A) + sin^2(2A)) / cos(4A))

Теперь мы видим, что cos^2(2A) + sin^2(2A) равно 1 (это тривиальное тождество).

Поэтому наше первое слагаемое может быть упрощено до:

((cos(4A) * 1) / cos(4A)) = 1

Разложение второго слагаемого

Теперь перейдем ко второму слагаемому (cos(2A)-sin(2A))^2.

Мы можем использовать формулу для квадрата разности:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Применяя эту формулу к нашему выражению, мы получаем:

(cos(2A)-sin(2A))^2 = cos^2(2A) - 2 * cos(2A) * sin(2A) + sin^2(2A)

Вспоминая тригонометрическую формулу sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A), мы можем заменить второе слагаемое:

2 * cos(2A) * sin(2A) = 2 * cos(2A) * (2 * sin(A) * cos(A))

Теперь мы можем упростить это выражение:

2 * cos(2A) * (2 * sin(A) * cos(A)) = 4 * cos(2A) * sin(A) * cos(A)

Суммируем слагаемые

Теперь, когда мы упростили оба слагаемых, мы можем объединить их:

1 - 4 * cos(2A) * sin(A) * cos(A)

В некоторых случаях, вам могут потребоваться дополнительные сведения о значениях A или ограничениях, чтобы продолжить упрощение этого выражения. Но в общем случае, это будет окончательным упрощением данного выражения.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.