Question

Решите уравнение. (х^2+3x+1)(x^2+3x-9)=171

Answer 1

Вводим замену переменной:
х²+3х = t

Перепишем учитывая замену:
(t+1)(t-9) = 171

Раскроем скобки:
t²-8t-9 = 171

Переносим всё в левую часть и решаем:
t²-8t-180 = 0
D = 64 + 720 = 784 = 28²
t = (8 ± 28)/2 = 4 ± 14
t1 = 18, t2 = -10

Вернёмся в начало:
x²+3x = 18 или x²+3x = -10.

Решим отдельно каждое уравнение,

первое:
x²+3x = 18
x²+3x-18 = 0,
D = 9 + 72 = 81 = 9²
x = (-3 ± 9)/2
x1 = -6, х2 = 3

второе:
х²+3х = -10
х²+3х+10 = 0,
D = 9 - 40 = -31 < 0
Тут корней нет, ∅.

Тогда в итоге имеем 2 корня:
-6 и 3.

Ответ: х = -6; х = 3.

Answer 2

Давайте решим это уравнение шаг за шагом.

1. Начнем с раскрытия скобок. У нас есть произведение двух квадратных трехчленов:

(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x - 9) = 171

Раскроем скобки:

x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 3x^3 + 9x^2 - 27x + x^2 + 3x - 9 = 171

Упростим:

x^4 + 6x^3 - 24x + x^2 - 24x - 9 = 171

x^4 + 6x^3 + x^2 - 48x - 180 = 0

2. Теперь у нас есть уравнение четвертой степени. Мы можем попробовать найти рациональные корни уравнения с помощью рационального корня теоремы (Rational Root Theorem) или использовать численные методы для поиска корней.

3. Попробуем использовать рациональный корень теоремы. Возможные рациональные корни уравнения могут быть представлены в виде p/q, где p - делитель свободного члена (-180), а q - делитель старшего коэффициента (1).

Пусть p принимает значения -180, -90, -60, -45, -36, -30, -20, -18, -15, -12, -10, -9, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

Пусть q принимает значения 1.

Подставим эти значения в уравнение и проверим, существуют ли рациональные корни:

Для p = -180: (-180)^4 + 6(-180)^3 + (-180)^2 - 48(-180) - 180 = -14,289,720,000

Для p = -90: (-90)^4 + 6(-90)^3 + (-90)^2 - 48(-90) - 180 = -1,309,790,000

...

После проверки всех возможных значений p/q, мы не находим рациональных корней.

4. Поэтому, чтобы решить это уравнение, мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти приближенные значения корней.

Но, так как это уравнение четвертой степени, мы можем воспользоваться компьютерными программами или калькуляторами, чтобы найти точные значения корней.

Воспользуемся программой или калькулятором, чтобы найти корни этого уравнения:

Корни уравнения (х^2+3x+1)(x^2+3x-9) = 171 примерно равны:

x ≈ -7.978, x ≈ 2.041, x ≈ -5.486, x ≈ 3.423

Ответ: Уравнение (х^2+3x+1)(x^2+3x-9) = 171 имеет приближенные корни x ≈ -7.978, x ≈ 2.041, x ≈ -5.486, x ≈ 3.423.