Question

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ УМОЛЯЮ ПРОШУ ПРОШУ ПРОШУ ПРОШУ ПРОШУ ПРОШУ ПРОШУ ПРОШУ ПРОШУ , Срочно нужно,ДАЮ 10 БАЛЛОВ !!! Сколько корней уравнения соsx^2 -sinx^2 - cosx=0 принадлежит промежутку[ -П/2;П/2;] прошу напишите. объясните !!1

Answer 1

1 корень подходит,ответ на фото, сорян что фото кривое, надеюсь будет видно

Answer 2

Давайте разберемся с вашим уравнением. Уравнение, которое вы предложили, выглядит следующим образом:

$\cos(x^2) - \sin(x^2) - \cos(x) = 0$

Для нахождения корней этого уравнения, давайте проведем несколько шагов.

1. Давайте заметим, что уравнение содержит функции $\sin$ и $\cos$, которые периодичны с периодом $2\pi$. Это означает, что мы можем ограничить наше рассмотрение на интервале $[-\pi, \pi]$, и затем продолжить решение на другие интервалы.

2. Рассмотрим уравнение на интервале $[-\pi, \pi]$:

$\cos(x^2) - \sin(x^2) - \cos(x) = 0$

3. Попробуем преобразовать это уравнение. Для начала, давайте заметим, что $\sin(x^2)$ и $\cos(x)$ - это четные функции, поэтому мы можем представить $\sin(x^2)$ как $-\sin(x^2)$ на интервале $[-\pi, \pi]$ без потери общности.

$\cos(x^2) + \sin(x^2) - \cos(x) = 0$

4. Теперь мы можем сложить $\cos(x^2)$ и $\sin(x^2)$, используя формулу сложения для $\sin$:

$\cos(x^2 + \frac{\pi}{4}) - \cos(x) = 0$

5. Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить. Извлекаем $\cos(x)$:

$\cos(x^2 + \frac{\pi}{4}) = \cos(x)$

6. Для того чтобы две косинусы были равными, аргументы косинусов должны отличаться на $2\pi k$ для некоторого целого $k$. Таким образом:

$x^2 + \frac{\pi}{4} = x + 2\pi k$

7. Теперь решим это уравнение для $x$:

$x^2 - x + \frac{\pi}{4} - 2\pi k = 0$

8. Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить стандартным способом, используя квадратное уравнение. Для нашего интервала $[-\pi, \pi]$ есть два корня. Теперь мы можем проверить, сколько из этих корней попадает в интервал $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

9. Решим уравнение:

$x^2 - x + \frac{\pi}{4} - 2\pi k = 0$

Для $k = 0$, корни будут:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{1 - 4\cdot\frac{\pi}{4}}}{2} = \frac{1 - \sqrt{1 - \pi}}{2}$

$x_2 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4\cdot\frac{\pi}{4}}}{2} = \frac{1 + \sqrt{1 - \pi}}{2}$

10. Из этих корней только $x_1$ попадает в интервал $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, так как $x_2$ больше $\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, уравнение $cos(x^2) - sin(x^2) - cos(x) = 0$ имеет один корень на интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, и этот корень равен $x_1 = \frac{1 - \sqrt{1 - \pi}}{2}$.