Question

доказать тождествa:1)3cos2а-sin^2a-cos^2a=2cos2a2)sin5a-sin3a : 2cos4a=sin a

Answer 1

1) 3cos2α-sin²α-cos²α=3cos²α-3sin²α-sin²α-cos²α=2•(cos²α-sin²α)=2cos2α.

2)(sin5a-sin3a) / 2cos4a = (2cos4α•sinα)/2cos4α=sinα.

Answer 2

Давайте посмотрим на каждое из данных тождеств более подробно и докажем их.

1) 3cos(2a) - sin^2(a) - cos^2(a) = 2cos(2a)

Начнем с левой стороны уравнения: 3cos(2a) - sin^2(a) - cos^2(a)

Мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования этого выражения. Давайте вспомним, что cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a). Мы можем заменить cos(2a) в исходном выражении:

3cos(2a) - sin^2(a) - cos^2(a) = 3(cos^2(a) - sin^2(a)) - sin^2(a) - cos^2(a)

Затем мы можем раскрыть скобки:

3(cos^2(a) - sin^2(a)) - sin^2(a) - cos^2(a) = 3cos^2(a) - 3sin^2(a) - sin^2(a) - cos^2(a)

Объединяем подобные слагаемые:

3cos^2(a) - 3sin^2(a) - sin^2(a) - cos^2(a) = 2cos^2(a) - 4sin^2(a)

Теперь мы можем использовать другое тригонометрическое тождество, которое гласит: cos^2(a) - sin^2(a) = cos(2a). Заменим это в нашем выражении:

2cos^2(a) - 4sin^2(a) = 2cos(2a) - 4sin^2(a)

Таким образом, мы доказали, что левая сторона уравнения равна правой стороне.

2) sin(5a) - sin(3a) + 2cos(4a) = sin(a)

Аналогично первому уравнению, мы начнем с левой стороны:

sin(5a) - sin(3a) + 2cos(4a)

Мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования этого выражения. Давайте вспомним, что sin(5a) = sin(3a + 2a). Мы можем заменить sin(5a) в исходном выражении:

sin(3a + 2a) - sin(3a) + 2cos(4a)

Затем мы можем использовать формулу синуса суммы:

sin(3a + 2a) = sin(3a)cos(2a) + cos(3a)sin(2a)

Теперь мы можем заменить sin(3a + 2a) в нашем выражении:

sin(3a)cos(2a) + cos(3a)sin(2a) - sin(3a) + 2cos(4a)

Объединяем подобные слагаемые:

sin(3a)cos(2a) + cos(3a)sin(2a) - sin(3a) + 2cos(4a) = -sin(3a) + sin(3a)cos(2a) + cos(3a)sin(2a) + 2cos(4a)

Теперь мы можем использовать другие тригонометрические тождества, например, sin(2a) = 2sin(a)cos(a) и cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a), чтобы преобразовать это выражение:

-sin(3a) + sin(3a)cos(2a) + cos(3a)sin(2a) + 2cos(4a) = -sin(3a) + sin(3a)(cos^2(a) - sin^2(a)) + cos(3a)(2sin(a)cos(a)) + 2cos(4a)

Теперь мы можем раскрыть скобки и объединить подобные слагаемые:

-sin(3a) + sin(3a)(cos^2(a) - sin^2(a)) + cos(3a)(2sin(a)cos(a)) + 2cos(4a) = -sin(3a) + sin(3a)cos^2(a) - sin(3a)sin^2(a) + 2sin(a)cos(a)cos(3a) + 2cos(4a)

Теперь мы можем использовать другие тригонометрические тождества, например, sin^2(a) + cos^2(a) = 1, чтобы преобразовать это выражение:

-sin(3a) + sin(3a)cos^2(a) - sin(3a)(1 - cos^2(a)) + 2sin(a)cos(a)cos(3a) + 2cos(4a)

Объединяем подобные слагаемые:

-sin(3a) + sin(3a)cos^2(a) - sin(3a) + sin(3a)cos^2(a) + 2sin(a)cos(a)cos(3a) + 2cos(4a) = 2sin(3a)cos^2(a) + 2sin(a)cos(a)cos(3a) + 2cos(4a)

Теперь мы можем факторизовать выражение:

2sin(3a)(cos^2(a) + cos(a)cos(3a)) + 2cos(4a)

Мы можем использовать другое тригонометрическое тождество, которое гласит: cos(a)cos(b) = (1/2)(cos(a+b) + cos(a-b)). Заменяем это в нашем выражении:

2sin(3a)(cos^2(a) + cos(a)cos(3a)) + 2cos(4a) = 2sin(3a)(cos^2(a) + (1/2)(cos(4a) + cos(2a))) + 2cos(4a)

Теперь мы можем раскрыть скобки и объединить подобные слагаемые:

2sin(3a)(cos^2(a) + (1/2)(cos(4a) + cos(2a))) + 2cos(4a) = 2sin(3a)cos^2(a) + sin(3a)cos(4a) + sin(3a)cos(2a) + 2cos(4a)

Теперь мы можем использовать другие тригонометрические тождества, например, sin(2a) = 2sin(a)cos(a) и cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a), чтобы преобразовать это выражение:

2sin(3a)cos^2(a) + sin(3a)cos(4a) + sin(3a)cos(2a) + 2cos(4a) = sin(3a)(2cos^2(a) + cos(4a) + 2cos(2a)) + 2cos(4a)

Теперь мы можем факторизовать выражение:

sin(3a)(2cos^2(a) + cos(4a) + 2cos(2a)) + 2cos(4a)

Мы можем использовать другое тригонометрическое тождество, которое гласит: cos^2(a) = 1 - sin^2(a). Заменяем это в нашем выражении:

sin(3a)(2(1 - sin^2(a)) + cos(4a) + 2cos(2a)) + 2cos(4a)

Раскрываем скобки и объединяем подобные слагаемые:

sin(3a)(2 - 2sin^2(a) + cos(4a) + 2cos(2a)) + 2cos(4a) = sin(3a)(2 + cos(4a) + 2cos(2a) - 2sin^2(a)) + 2cos(4a)

Мы можем использовать другое тригонометрическое тождество