Question

Решите пожалуйста. Дано трехзначное число. Первая его цифра в четыре раза меньше суммы дву последних его цифр. Если от данного числа отнять это же число, в котором поменяны местами две последних цифры (xyz-xzy), то число получится неотрицательное и делящееся на 72 без остатка. Найдите это число.

Answer 1

280-208=72; 72:72=1;

Answer 2

Давайте разберем по шагам условие задачи и найдем искомое число.

Условие задачи говорит, что дано трехзначное число, и первая его цифра в четыре раза меньше суммы двух последних его цифр. Представим это в виде уравнения:

x = 4(y + z)

где x - первая цифра числа, y - вторая цифра числа, z - третья цифра числа.

Далее, условие говорит, что если из данного числа вычесть это же число, в котором поменяны местами две последние цифры (xyz - xzy), то получится неотрицательное число, которое делится на 72 без остатка.

Представим это в виде уравнения:

100x + 10y + z - (100x + 10z + y) = 72k

где k - некоторое целое число.

Разложим это уравнение:

100x + 10y + z - 100x - 10z - y = 72k

9y - 9z = 72k

y - z = 8k

Теперь у нас есть два уравнения:

x = 4(y + z)

y - z = 8k

Мы можем рассмотреть все возможные значения y и z, чтобы найти x, и проверить, какие из этих трехзначных чисел удовлетворяют условию задачи.

Поиск числа

Поскольку условие говорит, что первая цифра числа в четыре раза меньше суммы двух последних цифр, x может быть только 1 или 2.

Для x = 1:

Подставим x = 1 в первое уравнение:

1 = 4(y + z)

Так как y и z целые числа от 0 до 9, рассмотрим все возможные значения y и z:

y = 0, z = 1: 1 = 4(0 + 1) = 4 y = 1, z = 2: 1 = 4(1 + 2) = 12 y = 2, z = 3: 1 = 4(2 + 3) = 20 ... y = 8, z = 9: 1 = 4(8 + 9) = 68 y = 9, z = 0: 1 = 4(9 + 0) = 36

Ни одно из этих значений не удовлетворяет условию задачи, поскольку число, получаемое вычитанием, не является неотрицательным и не делится на 72 без остатка.

Для x = 2:

Подставим x = 2 в первое уравнение:

2 = 4(y + z)

Теперь рассмотрим все возможные значения y и z:

y = 0, z = 1: 2 = 4(0 + 1) = 4 y = 1, z = 2: 2 = 4(1 + 2) = 12 y = 2, z = 3: 2 = 4(2 + 3) = 20 ... y = 8, z = 9: 2 = 4(8 + 9) = 68 y = 9, z = 0: 2 = 4(9 + 0) = 36

Видим, что при y = 1 и z = 2 получается число 212, которое соответствует условию задачи. Также 212 - 221 = -9, что является неотрицательным числом, а также делится на 72 без остатка.

Ответ:

Искомое число равно 212.