Question

Решите неравенство 2x^2+9x-5≤0

Answer 1

2x^2+9x-5≤0
D=81-4*2*(-5)=81+40=121=11²
x1= (-9+11) /4 = 1/2
x2= (-9-11) /4= -5
2(x-1/2)(x+5)≤0
Ответ: [-5 ; 1/2]

Answer 2

Для решения неравенства \(2x^2 + 9x - 5 \leq 0\) мы можем использовать методы факторизации или графического анализа. Я начну с использования метода факторизации.

Метод факторизации

Для начала решим уравнение \(2x^2 + 9x - 5 = 0\) с помощью квадратного уравнения. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни этого уравнения.

Дискриминант \(D\) для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = 9^2 - 4*2*(-5) = 81 + 40 = 121\]

Таким образом, дискриминант положительный, что означает, что уравнение имеет два действительных корня.

Корни уравнения можно найти с помощью формулы:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

\[x = \frac{{-9 \pm \sqrt{121}}}{{4}}\]

\[x_1 = \frac{{-9 + 11}}{{4}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

\[x_2 = \frac{{-9 - 11}}{{4}} = \frac{-20}{4} = -5\]

Теперь мы знаем, что уравнение \(2x^2 + 9x - 5 = 0\) имеет два корня: \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = -5\).

Теперь, чтобы решить неравенство \(2x^2 + 9x - 5 \leq 0\), мы можем использовать эти корни.

Проверка интервалов

Мы можем использовать тестовые точки в каждом из интервалов, образованных корнями уравнения, чтобы определить знак выражения \(2x^2 + 9x - 5\) в каждом интервале.

1. Выберем точку \(x = -6\) (меньше чем \(x = -5\)). 2. Выберем точку \(x = 0\) (между \(\frac{1}{2}\) и \(-5\)). 3. Выберем точку \(x = 1\) (больше чем \(\frac{1}{2}\)).

Подставим эти точки в \(2x^2 + 9x - 5\) и определим знак выражения в каждом интервале.

1. При \(x = -6\): \(2(-6)^2 + 9(-6) - 5 = 72 - 54 - 5 = 13\). Значит, в интервале \((-\infty, -5)\) выражение положительное. 2. При \(x = 0\): \(2(0)^2 + 9(0) - 5 = -5\). Значит, в интервале \((-5, \frac{1}{2})\) выражение отрицательное. 3. При \(x = 1\): \(2(1)^2 + 9(1) - 5 = 6\). Значит, в интервале \((\frac{1}{2}, \infty)\) выражение положительное.

Решение неравенства

Исходя из нашего анализа, мы можем сделать вывод, что неравенство \(2x^2 + 9x - 5 \leq 0\) выполняется в интервалах \(-5 \leq x \leq \frac{1}{2}\).

Таким образом, решение неравенства \(2x^2 + 9x - 5 \leq 0\) можно записать как:

\[x \in \left