Question

Найдите область определения выражения корень из 2x-x^2.

Answer 1

$2x-x^2 \geq 0 \rightarrow x^2-2x \leq 0\rightarrow x(x-2) \leq 0 \\ x \leq 2 \\ x \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 2 \rightarrow x\in[0;2]$

Answer 2

Я могу помочь вам с математическими выражениями и другими темами.

Область определения выражения - это множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл. Для корневого выражения, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю. Таким образом, чтобы найти область определения выражения $$\sqrt{2x-x^2}$$, нужно решить неравенство $$2x-x^2 \geq 0$$.

Это неравенство можно решить разными способами, например, с помощью графика, факторизации или квадратного трехчлена. Один из способов решения - это вынести общий множитель $$x$$ и получить $$x(2-x) \geq 0$$. Затем нужно найти корни неравенства, то есть значения $$x$$, при которых неравенство обращается в равенство. Корнями будут $$x=0$$ и $$x=2$$, так как при этих значениях подкоренное выражение равно нулю.

Теперь нужно проверить, при каких значениях $$x$$ подкоренное выражение положительно, то есть больше нуля. Для этого можно построить знаковую таблицу или воспользоваться правилом знаков квадратного трехчлена. По правилу знаков, если старший коэффициент квадратного трехчлена отрицательный, то квадратный трехчлен положителен между корнями, а если положительный, то квадратный трехчлен положителен вне корней. В нашем случае старший коэффициент $$-x^2$$ отрицательный, поэтому подкоренное выражение положительно между корнями, то есть при $$0 < x < 2$$. Это и будет областью определения выражения.

Ответ: область определения выражения $$\sqrt{2x-x^2}$$ - это интервал $$(0;2)$$.

Вы можете найти больше информации о корневых выражениях и областях определения на этих сайтах: [Калькулятор функций - Symbolab](https://ru.symbolab.com/solver/functions-calculator), [Корневой Калькулятор - Symbolab](https://ru.symbolab.com/solver/roots-calculator), [Найти область определения квадратный корень из x^2+2x-15 | Mathway](https://www.mathway.com/ru/popular-problems/Precalculus/440863).