Question

Алгебра, тригонометрические уравнения. С чертежом окружности, если можно. 1) 2sin2x=tgx+ctgx 2) 3tg^2x-8cos^2x+1=0

Answer 1

$1)2Sin2x=tgx+Ctgx\\\\2Sin2x=\frac{Sinx}{Cosx}+\frac{Cosx}{Sinx}\\\\2Sin2x=\frac{Sin^{2}x+Cos^{2}x}{Sinx Cosx}\\\\2*2Sinx Cosx=\frac{1}{Sinx Cosx}\\\\4Sinx Cosx-\frac{1}{Sinx Cosx}=0\\\\Sinx Cosx = m\\\\4m-\frac{1}{m}=0 \ , \ m\neq0\\\\\frac{4m^{2}-1 }{m}=0\\\\4m^{2}-1=0\\\\m_{1} =\frac{1}{2}\\\\m_{2}=-\frac{1}{2}\\\\1)Sinx Cosx=\frac{1}{2}\\\\2Sinx Cosx=1\\\\Sin2x=1\\\\2x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z\\\\x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z$

$2)Sinx Cosx=-\frac{1}{2}\\\\2Sinx Cosx=-1\\\\Sin2x=-1\\\\2x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z\\\\x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z \\\\Otvet:\boxed{\pm\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z}$

$2)3tg^{2}x-8Cos^{2}x+1=0\\\\(3tg^{2}x+1)-8Cos^{2}x=0\\\\\frac{3Sin^{2}x+Cos^{2}x }{Cos^{2}x } -8Cos^{2}x=0 \ , \ Cosx\neq 0\\\\3Sin^{2} x+Cos^{2}x-8Cos^{4}x=0\\\\3-3Cos^{2} x+Cos^{2}x-8Cos^{4}x=0\\\\8Cos^{4}x+2Cos^{2}x-3=0\\\\Cos^{2}x=m \ , \ m >0\\\\8m^{2}+2m-3=0\\\\D=2^{2}-4*8*(-3)=4+96=100=10^{2}\\\\m_{1} =\frac{-2+10}{16} =\frac{1}{2}\\\\m_{2}=\frac{-2-10}{16}=-\frac{3}{4}$

$x=\pm\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z\\\\2)Cosx=-\frac{\sqrt{2} }{2}\\\\x=\pm\frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in Z$

Answer 2

Давайте рассмотрим оба уравнения:

1. 2sin^2(x) = tg(x) + ctg(x)

Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества. Для начала, мы можем представить tg(x) и ctg(x) через sin(x) и cos(x):

tg(x) = sin(x) / cos(x) ctg(x) = cos(x) / sin(x)

Подставляем эти значения в уравнение:

2sin^2(x) = sin(x) / cos(x) + cos(x) / sin(x)

Умножаем обе стороны на sin(x) * cos(x), чтобы избавиться от дробей:

2sin^3(x) * cos(x) = sin^2(x) + cos^2(x)

Теперь используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2sin^3(x) * cos(x) = 1

Теперь давайте рассмотрим чертеж окружности. Представьте себе единичную окружность с центром в начале координат (0,0). Если мы рассмотрим точку (x, y) на окружности, то sin(x) = y, а cos(x) = x. Таким образом, уравнение примет вид:

2y^3 * x = 1

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x:

x = 1 / (2y^3)

Теперь мы можем вернуться к тригонометрическому контексту и рассмотреть, как получить значения угла x:

sin(x) = y cos(x) = 1 / (2y^3)

Отсюда можно найти угол x:

x = arcsin(y)

2. 3tg^2(x) - 8cos^2(x) + 1 = 0

Давайте попробуем решить это уравнение. Для начала, представим tg(x) через sin(x) и cos(x), а также используем тригонометрическое тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

3(sin(x)/cos(x))^2 - 8cos^2(x) + 1 = 0

3sin^2(x) - 8cos^3(x) + cos(x) = 0

Теперь мы можем рассмотреть чертеж окружности и использовать то, что sin(x) = y, а cos(x) = x:

3y^2 - 8x^3 + x = 0

Это уравнение выглядит сложным, и его решение может потребовать численных методов или компьютерного программирования. Вы можете попробовать найти приближенные значения x и y для данного уравнения с использованием численных методов, таких как метод Ньютона или метод бисекции.