Question

Розвяжіть нерівність x^2-6x+5>0

Answer 1

Ответ:

х ∈ (- ∞; 1) ∪ (5; + ∞)

Объяснение:

Графиком функции x²-6x+5 = 0 является парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому решениями неравенства x²-6x+5 > 0 будут две области значений - левее и правее точек пересечения графика функции  x²-6x+5 = 0 с осью х.

Решение

1) х₁,₂ = 3 ±√(3²-5) = 3 ± √4 = 3±2

х₁ = 3-2=1

х₂ =3+2=5.

2) Исследуем знаки функции:

а) на интервале левее точки +1:

пусть х =0, тогда у = 0² -6·0 +5 = 5;

так как 5>0, то x²-6x+5 > 0, то на числовой оси отмечаем первую область решений:  

х ∈ (- ∞; 1);

б) на интервале от 1 до 5:

пусть х = 3, тогда у = 3² -6·3 +5 = 9 - 18 + 5 = - 4;

так как -4<0, то x²-6x+5 < 0, в силу чего интервал значений от 1 до 5 не является областью решений;

в) на интервале правее точки 5:

пусть х = 7, тогда у = 7² -6·7 +5 = 49 - 42 + 5 = 7 + 5 = 12;

так как 12>0, то x²-6x+5 >0, то на числовой оси отмечаем вторую область решений:  

х ∈ (5; + ∞).

3) Объединяем найденные области значений:

х ∈ (- ∞; 1) ∪ (5; + ∞)

Ответ:  х ∈ (- ∞; 1) ∪ (5; + ∞)

Answer 2

Ответ: (-беск;1) U (5;+бескон)

(х-1)(х-5)>0

___+____1______-_____5______+_____

Answer 3

Щоб розв'язати нерівність $x^2 - 6x + 5 > 0$, спробуємо знайти корені рівняння, що виникає при рівності лівої частини нулю:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Ми можемо розв'язати це квадратне рівняння, використовуючи квадратну формулу. Формула виглядає так:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

У нашому випадку $a = 1$, $b = -6$, і $c = 5$. Підставимо ці значення у формулу:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Спростимо вираз:

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 4}{2}$

Тепер розв'яжемо рівняння:

1. $x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5$
2. $x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1$

Отже, ми знайшли два корені рівняння: $x_1 = 5$ і $x_2 = 1$. Тепер розглянемо інтервали між цими коренями, а також за їхніми межами, щоб визначити знак виразу $x^2 - 6x + 5$ в кожному інтервалі.

1. Інтервал $(-∞, 1)$: Оберемо точку тесту $x = 0$ і підставимо її в нерівність: $0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5 > 0$, отже, нерівність виконується в цьому інтервалі.

2. Інтервал $(1, 5)$: Оберемо точку тесту $x = 3$ і підставимо її в нерівність: $3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 < 0$, отже, нерівність не виконується в цьому інтервалі.

3. Інтервал $(5, ∞)$: Оберемо точку тесту $x = 6$ і підставимо її в нерівність: $6^2 - 6 \cdot 6 + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 > 0$, отже, нерівність виконується в цьому інтервалі.

Отже, розв'язок нерівності $x^2 - 6x + 5 > 0$ - це інтервали $(-∞, 1)$ і $(5, ∞)$.