Question

1.Найдите производные функций: а) f(x)=5x^4+3x^2-8x-9 б) g(x)=1/x*√x в) q(x)=3x-2 ------- x+3 г) u(x)=sin 5x 2.Найдите угол наклона касательной к графику функции f(x)=2x-1 ------- x в точке x0=2

Answer 1

№ 1
а) $f(x)=5x^4+3x^2-8x-9$
$f'(x)=(5x^4+3x^2-8x-9)'=4*5x^3+2*3x-8=20x^3+6x-8$

б) $g(x)= \frac{1}{x} * \sqrt{x}$
$\frac{1}{x} * \sqrt{x} = \frac{ \sqrt{x} }{x}= \frac{1}{ \sqrt{x} }= \frac{1}{x^{0.5}} =x^{-0.5}$
$g(x)=x^{-0.5}$
$g'(x)=(x^{-0.5})'=-0.5x^{-1.5}=- \frac{1}{2\sqrt{x^3} }$

в) $q(x)= \frac{3x-2}{x+3}$
$q'(x)= (\frac{3x-2}{x+3} )'= \frac{(3x-2)'*(x+3)-(3x-2)*(x+3)'}{(x+3)^2} = \frac{3(x+3)-1*(3x-2)}{(x+3)^2} =$$=\frac{3x+9-3x+2}{(x+3)^2}= \frac{11}{(x+3)^2}$

г) $u(x)=sin 5x$
$u'(x)=(sin 5x)'=cos5x*(5x)'=5cos5x$

№ 2
$f(x)= \frac{2x-1}{x}$     $x_0=2$
$f'(x)= (\frac{2x-1}{x} )'= \frac{(2x-1)'*x-(2x-1)*x'}{x^2} = \frac{2x-(2x-1)}{x^2} = \frac{2x-2x+1}{x^2}= \frac{1}{x^2}$
$f'(2)= \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
$tg \alpha =f'(x_0)$
$tg \alpha = \frac{1}{4}$
$\alpha =arctg \frac{1}{4}$

Answer 2

Производные функций

Для каждой из функций, вам нужно найти производную. Вот как это сделать:

а) Для функции f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 8x - 9: Чтобы найти производную, нужно взять производную каждого слагаемого в отдельности. Производная слагаемого 5x^4 равна 20x^3 (по правилу степенной функции). Производная слагаемого 3x^2 равна 6x (по правилу степенной функции). Производная слагаемого -8x равна -8 (по правилу производной константы). Производная слагаемого -9 равна 0 (по правилу производной константы). Теперь можно сложить все производные слагаемых, чтобы получить окончательную производную функции f(x). Таким образом, f'(x) = 20x^3 + 6x - 8.

б) Для функции g(x) = 1/x * √x: Чтобы найти производную, нужно применить правило производной произведения двух функций. Производная функции 1/x равна -1/x^2 (по правилу производной обратной функции). Производная функции √x равна 1/(2√x) (по правилу производной корня). Теперь можно перемножить эти две производные, чтобы получить окончательную производную функции g(x). Таким образом, g'(x) = -1/(x^2 * 2√x) = -1/(2x√x).

в) Для функции q(x) = 3x - 2 / (x + 3): Чтобы найти производную, нужно применить правило производной частного двух функций. Производная функции 3x - 2 равна 3 (по правилу производной линейной функции). Производная функции x + 3 равна 1 (по правилу производной линейной функции). Теперь можно применить формулу для производной частного двух функций: q'(x) = (3 * (x + 3) - (3x - 2) * 1) / (x + 3)^2 = (6) / (x + 3)^2 = 6 / (x + 3)^2.

г) Для функции u(x) = sin(5x + 2): Чтобы найти производную, нужно применить правило производной синуса. Производная функции sin(5x + 2) равна 5 * cos(5x + 2) (по правилу производной синуса). Таким образом, u'(x) = 5 * cos(5x + 2).

Угол наклона касательной

Теперь, чтобы найти угол наклона касательной к графику функции f(x) = 2x - 1 / (x + 2) в точке x0 = 2, нужно найти производную функции f(x) и подставить значение x0 в полученную производную.

Для функции f(x) = 2x - 1 / (x + 2): Производная функции f(x) можно найти, применив правило производной частного двух функций: f'(x) = (2 * (x + 2) - (2x - 1) * 1) / (x + 2)^2 = (4) / (x + 2)^2 = 4 / (x + 2)^2. Теперь подставим значение x0 = 2 в полученную производную: f'(2) = 4 / (2 + 2)^2 = 4 / 16 = 1/4.

Таким образом, угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке x0 = 2 равен 1/4.

Answer 3

a) Найдите производную функции f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 8x - 9

Чтобы найти производную функции, нужно применить правила дифференцирования. Для многочленов примен