Question

Доказать n^(11)-n делится на 11

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Докажем методом математической индукции

1) при n=1

1¹¹-1=0 делится на 11

2) предположим что при n=k

k¹¹-k  делится на 11

тогда k¹¹-k=k(k¹⁰-1) делится на 11

поскольку к может быть не равным 11 то k¹⁰-1 делится на 11  (1)

3) проверим при n=k+1

(k+1)¹¹-(k+1)=(k+1)((k+1)¹⁰-1)

(k+1)¹⁰-1 делится на 11 по условию (1)⇒

(k+1)((k+1)¹⁰-1) делится на 11 ⇒

(k+1)¹¹-(k+1)  делится на 11

тогда по методу математической индукции

n¹¹-n  делится на 11 для любого n

Answer 2

Чтобы доказать, что $n^{11} - n$ делится на 11 для любого целого числа $n$, мы можем воспользоваться биномиальным тождеством и малой теоремой Ферма.

Сначала рассмотрим биномиальное тождество: $n^{11} - n = n(n^{10} - 1).$

Теперь мы можем применить малую теорему Ферма, которая говорит, что если $p$ — простое число, а $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В данном случае $p = 11$ (простое число), и $n$ не делится на 11 (если $n$ делится на 11, то $n^{11} - n$ будет делиться на 11).

Таким образом, мы можем применить малую теорему Ферма к $n$:

$n^{10} \equiv 1 \pmod{11}.$

Теперь можем вернуться к исходному выражению:

$n^{11} - n = n(n^{10} - 1) \equiv n(1 - 1) \equiv 0 \pmod{11}.$

Таким образом, $n^{11} - n$ делится на 11 для любого целого числа $n$.