Question

Найдите значение выражение sin200°•sin310°+cos340°•cos50°=

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\sin 200^{\circ} \sin 310^{\circ} + \cos 340^{\circ} \cos 50^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Примечание:

По свойствам функций синуса и косинуса их период равен 360°:

$T = 360^{\circ}$ или $T = 2\pi$

$\cos ( \alpha - 360^{\circ} ) = \cos \alpha$

$\sin ( \alpha - 360^{\circ} ) = \sin \alpha$

Формулы приведения:

$\sin (180^{\circ} - \alpha ) = \sin \alpha$

По определению функция косинус - четная, то есть $\boxed{\cos (-\alpha ) = \cos (\alpha ) }$

По определению функция синус - нечетная, то есть $\boxed{\sin (-\alpha ) = - \sin (\alpha ) }$

Объяснение:

$\sin 200^{\circ} \sin 310^{\circ} + \cos 340^{\circ} \cos 50^{\circ} = \cos 20^{\circ} \cos 50^{\circ} + (-\sin 20^{\circ})(- \sin 50^{\circ}) =$

$= \cos 20^{\circ} \cos 50^{\circ} + \sin 20^{\circ} \sin 50^{\circ} = \cos(20^{\circ} - 50^{\circ}) = \cos(-30^{\circ}) = \cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3} }{2}$

а) $\cos 340^{\circ} = \cos ( 340^{\circ} - 360^{\circ} ) = \cos (-20^{\circ}) = \cos 20^{\circ}$

б) $\sin 310^{\circ} = \sin (310^{\circ} - 360^{\circ} ) = \sin (-50^{\circ}) = - \sin 50^{\circ}$

в) $\sin 200^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 200^{\circ} ) = \sin (-20^{\circ}) = - \sin 20^{\circ}$

Answer 2

Для вычисления данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Используем тождество для произведения синусов: $\sin(A) \cdot \sin(B) = \frac{1}{2} \left( \cos(A - B) - \cos(A + B) \right)$

2. Используем тождество для произведения косинусов: $\cos(A) \cdot \cos(B) = \frac{1}{2} \left( \cos(A - B) + \cos(A + B) \right)$

Теперь заменим углы в соответствии с данными в задаче:

$A = 200°, \quad B = 310°$ $\cos(340°) = \cos(360° - 20°) = \cos(-20°) = \cos(20°)$ $\cos(50°) = \cos(-360° + 410°) = \cos(410°)$

Подставим значения в выражение:

$$\begin{align*} &\sin(200°) \cdot \sin(310°) + \cos(340°) \cdot \cos(50°) \\ &= \frac{1}{2} \left( \cos(200° - 310°) - \cos(200° + 310°) \right) \\ &\quad + \frac{1}{2} \left( \cos(-20°) + \cos(410°) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \cos(-110°) - \cos(510°) \right) + \frac{1}{2} \left( \cos(-20°) + \cos(410°) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \cos(110°) - \cos(150°) \right) + \frac{1}{2} \left( \cos(20°) + \cos(410°) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right) \right) + \frac{1}{2} \left( \cos(20°) + \cos(410°) \right) \\ &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{1}{2} \left( \cos(20°) + \cos(410°) \right) \end{align*}$$

Теперь вычислим значения косинусов для углов 20° и 410°:

$\cos(20°) \approx 0.9397$ $\cos(410°) \approx \cos(360° + 50°) = \cos(50°) \approx 0.6428$

И подставим их в исходное выражение:

$$\begin{align*} &\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{1}{2} \left( \cos(20°) + \cos(410°) \right) \\ &\approx \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{1}{2} \left( 0.9397 + 0.6428 \right) \\ &\approx \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + 0.79125 \\ &\approx 0.9517 + 0.79125 \\ &\approx 1.74295 \end{align*}$$