Question

У=9х-х3 исследовать функцию

Answer 1

Y'=(9x-x3)'
y'=5-3x^2

Answer 2

Для исследования функции f(x) = 9x - x^3, нужно провести анализ ее свойств, таких как область определения, интервалы возрастания и убывания, экстремумы, точки перегиба и асимптоты. Давайте начнем с этого.

1. Область определения: Область определения функции - это множество всех значений x, для которых функция имеет смысл. В данном случае, функция определена для всех действительных чисел x.

2. Производная функции: Для нахождения интервалов возрастания и убывания, найдем производную функции: f'(x) = d/dx (9x - x^3) = 9 - 3x^2

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю: 9 - 3x^2 = 0 3x^2 = 9 x^2 = 3 x = ±√3

Теперь определим интервалы возрастания и убывания:

• Для x < -√3: f'(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.
• Для -√3 < x < √3: f'(x) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.
• Для x > √3: f'(x) > 0, следовательно, функция снова возрастает на этом интервале.

3. Экстремумы: Так как функция меняет направление дважды (переходит от возрастания к убыванию и обратно), она имеет две критические точки, и каждая из них является экстремумом. В точке x = -√3, функция имеет локальный максимум, и в точке x = √3, функция имеет локальный минимум.

4. Точки перегиба: Для нахождения точек перегиба, нужно найти вторую производную функции и найти значения x, где она равна нулю: f''(x) = d^2/dx^2 (9 - 3x^2) = -6x

Точки перегиба будут там, где f''(x) = 0: -6x = 0 x = 0

Таким образом, точка x = 0 является точкой перегиба.

5. Асимптоты: Для определения асимптот функции необходимо проанализировать ее пределы при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности.

a. Предел при x → ±∞: lim (x→∞) (9x - x^3) = -∞ lim (x→-∞) (9x - x^3) = +∞

Это означает, что горизонтальных асимптот нет, так как функция не стремится к постоянному значению при бесконечных значениях x.

b. Вертикальные асимптоты: Находим вертикальные асимптоты, определяя, где знаменатель функции становится нулем: 9 - x^3 = 0 x^3 = 9 x = ∛9

Таким образом, у функции есть вертикальная асимптота при x = ∛9.

Итак, после проведения анализа, мы можем сделать следующие выводы:

• Область определения: (-∞, ∞)
• Интервалы возрастания: (-∞, -√3) и (√3, ∞)
• Интервалы убывания: (-√3, √3)
• Экстремумы: Максимум в точке (-√3, f(-√3)) и минимум в точке (√3, f(√3))
• Точки перегиба: (0, f(0))
• Вертикальная асимптота: x = ∛9

Теперь вы можете построить график этой функции, учитывая вышеуказанные характеристики.