Question

Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 84. Найдите эти числа.

Answer 1

 x данное число  
 (x+x+1)^2-( x^2+(x+1)^2 ) = 84     
 (2x+1)^2 - (x^2 + x^2+2x+1) = 84 
 4x^2+4x+1 - 2x^2-2x-85 = 0 
 2x^2+2x-84=0 
 x^2+x-42=0 
  (x+7)(x-6) = 0 
 x=-7 
 x=6
 Ответ 6 и 7 

Answer 2

Предположим, что первое натуральное число равно n, тогда второе натуральное число будет (n+1), так как они последовательны.

Тогда, согласно условию, у нас есть два уравнения:

1. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 84: (n + (n+1))^2 > n^2 + (n+1)^2 + 84

2. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел равен: (n + (n+1))^2 = (2n+1)^2

Теперь решим уравнение (1):

(2n + 1)^2 > n^2 + (n+1)^2 + 84

Раскроем квадрат слева:

4n^2 + 4n + 1 > n^2 + n^2 + 2n + 1 + 84

Упростим:

4n^2 + 4n + 1 > 2n^2 + 2n + 85

Теперь перенесем все в одну сторону:

4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 85 > 0

Упростим:

2n^2 + 2n - 84 > 0

Решим это квадратное уравнение, приравняв его к нулю:

2n^2 + 2n - 84 = 0

Теперь решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac где a = 2, b = 2 и c = -84:

D = 2^2 - 4 * 2 * (-84) = 4 + 672 = 676

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

n1 = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √676) / (2 * 2) = (2 + 26) / 4 = 28 / 4 = 7

n2 = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √676) / (2 * 2) = (2 - 26) / 4 = -24 / 4 = -6

Поскольку у нас рассматриваются натуральные числа, то n2 = -6 не подходит.

Таким образом, первое натуральное число (n) равно 7, а второе натуральное число (n+1) равно 8.