Question

Проміжки спадання і зростання функції f(x)=x⁴-4x³+4x²-1

Answer 1

Решение на листе(на русском):

Answer 2

Щоб знайти проміжки спадання і зростання функції, спочатку знайдемо похідну від даної функції і з'ясуємо її знаки.

Дано функцію: f(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² - 1

Щоб знайти похідну, візьмемо похідну від кожного члена функції по окремо:

f'(x) = d/dx (x⁴) - d/dx (4x³) + d/dx (4x²) - d/dx (1)

Тепер знайдемо похідні:

f'(x) = 4x³ - 12x² + 8x

Тепер знайдемо критичні точки функції, де f'(x) = 0:

4x³ - 12x² + 8x = 0

Виділимо спільний множник (4x):

4x(x² - 3x + 2) = 0

Знайдемо корені рівняння:

1. 4x = 0 -> x = 0
2. x² - 3x + 2 = 0

Для другого рівняння, ми можемо знайти корені, факторизуючи його:

(x - 1)(x - 2) = 0

Таким чином, ми маємо три критичні точки: x = 0, x = 1, і x = 2.

Тепер складемо таблицю знаків похідної f'(x) та визначимо проміжки спадання і зростання функції f(x):

x	-∞	0	1	2	+∞
f'(x)	-	0	+	+	+
f(x)	↓	↓	↑	↑	↑

Отже, функція f(x) спадає на проміжках (-∞, 0) та (1, 2), і зростає на проміжку (0, 1) та (2, +∞).