Question

Тригонометричечские уравнения: 1)2 cos2x=7 cos(p-x)2)cos2x=7sin(p-x)3)cos2x=7sin(p+x)Решите пожалуйста Заранее спасибо)))!!!

Answer 1

1)2 cos2x=7 cos(π-x)
2Сos2x = -7Cosx
2(2Cos²x - 1) +7Cosx = 0
4Cos²x -2 +7Cosx = 0
Cosx = t
4t² +7t  -1 = 0
D =49+16 = 65
t=(-7+√65)/4                                                     t = (-7 -√65)/4
Cosx = (-7+√65)/4                                           Cosx =  (-7-√65)/4 
x = +-arcCos (-7+√65)/4  +2πk , k ∈Z                      ∅

2)cos2x=7sin(π-x)
Cos2x = 7Sinx
1 - 2Sin²x -7Sinx = 0
Sinx = t
-2t² -7t +1 = 0
D = 49 +8 = 57
t = (7+√57)/-4                                         t =(7 -√57)/-4
Sinx = (7+√57)/-4                                    Sinx = (7-√57)/-4   
∅                                                            x = (-1)^n arcSin(7-√57)/-4  +nπ, n∈Z  
3) = 2)

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности:

1. 2 cos^2(x) = 7 cos(π - x)

Заметим, что cos(π - x) = -cos(x), так как косинус является четной функцией. Подставим это в уравнение:

2 cos^2(x) = -7 cos(x)

Теперь приведем уравнение к виду 2 cos^2(x) + 7 cos(x) = 0:

2 cos^2(x) + 7 cos(x) = 0

Теперь факторизуем уравнение:

cos(x) * (2 cos(x) + 7) = 0

Из этого уравнения следует, что либо cos(x) = 0, либо 2 cos(x) + 7 = 0.

1.1) cos(x) = 0: Из стандартной таблицы значений тригонометрических функций известно, что cos(x) = 0 при x = π/2 + kπ, где k - любое целое число.

1.2) 2 cos(x) + 7 = 0: Выразим cos(x): 2 cos(x) = -7 cos(x) = -7/2

Так как значение косинуса не может быть больше 1 или меньше -1, данное уравнение не имеет действительных корней.

Итак, решение первого уравнения: x = π/2 + kπ, где k - любое целое число.

2. cos^2(x) = 7 sin(π - x)

Заметим, что sin(π - x) = sin(x), так как синус является нечетной функцией. Подставим это в уравнение:

cos^2(x) = 7 sin(x)

Теперь, используем тригонометрическое тождество: cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Подставим это в уравнение:

1 - sin^2(x) = 7 sin(x)

Получаем квадратное уравнение:

sin^2(x) + 7 sin(x) - 1 = 0

Чтобы решить это уравнение, давайте представим его как квадратное уравнение относительно sin(x):

sin^2(x) + 7 sin(x) - 1 = (sin(x) + A)(sin(x) + B), где A и B - такие числа, что A + B = 7 и A * B = -1.

Найдем числа A и B, удовлетворяющие этим условиям:

A + B = 7 A * B = -1

Из первого уравнения, A = 7 - B, подставим это во второе уравнение:

(7 - B) * B = -1 7B - B^2 = -1 B^2 - 7B - 1 = 0

Решим квадратное уравнение относительно B:

B = (7 ± √(7^2 - 4 * 1 * (-1))) / 2 B = (7 ± √(49 + 4)) / 2 B = (7 ± √53) / 2

Таким образом, у нас два возможных значения для B:

1. B = (7 + √53) / 2
2. B = (7 - √53) / 2

Теперь найдем соответствующие значения для A:

1. A = 7 - B = 7 - (7 + √53) / 2 = (7 - √53) / 2
2. A = 7 - B = 7 - (7 - √53) / 2 = (7 + √53) / 2

Таким образом, у нас есть два квадратных уравнения относительно sin(x):

1. sin(x) + (7 + √53) / 2 = 0

2. sin(x) + (7 - √53) / 2 = 0

3. sin(x) = - (7 + √53) / 2

Так как значение синуса не может быть меньше -1 или больше 1, это уравнение не имеет действительных корней.

2. sin(x) = - (7 - √53) / 2

Используем стандартную таблицу значений синуса и найдем все значения x, которые удовлетворяют этому уравнению.

Таким образом, решение второго уравнения будет зависеть от таблицы значений синуса.

3. cos^2(x) = 7 sin(π + x)

Заметим, что sin(π + x) = -sin(x), так как синус является нечетной функцией. Подставим это в уравнение:

cos^2(x) = -7 sin(x)

Так как квадраты неотрицательных чисел не могут быть равны отрицательным числам, у данного уравнения нет действительных корней.

Итак, решения уравнений:

1. x = π/2 + kπ, где k - любое целое число.

2. sin(x) = - (7 - √53) / 2

Третье уравнение не имеет действительных корней.