Question

А)исследовать функцию на монотонность и экстремумы и построить график y=2x^3+3x^2-1 б)при каких значениях параметра a уравнение 2x^3+3x^2-1=a имеет 2 корня

Answer 1

Все монотонности и перегибы на графике, на пункт б ответ (-1;0)

Answer 2

Для начала рассмотрим функцию y = 2x^3 + 3x^2 - 1.

А) Исследование функции на монотонность и экстремумы:

1. Найдем первую производную функции, чтобы найти точки экстремума и определить монотонность функции:

y = 2x^3 + 3x^2 - 1 y' = d/dx (2x^3 + 3x^2 - 1) = 6x^2 + 6x

2. Найдем точки, где y' = 0, чтобы найти точки экстремума:

6x^2 + 6x = 0 6x(x + 1) = 0

Таким образом, x = 0 и x = -1.

3. Теперь определим знак производной в интервалах, чтобы определить монотонность функции:

Выберем тестовую точку x1 = -2 (меньше -1) y'(-2) = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 (положительно)

Выберем тестовую точку x2 = 0.5 (между 0 и -1) y'(0.5) = 6(0.5)^2 + 6(0.5) = 1.5 (положительно)

Выберем тестовую точку x3 = 2 (больше 0) y'(2) = 6(2)^2 + 6(2) = 24 + 12 = 36 (положительно)

Таким образом, на интервалах (-∞, -1), (-1, 0), и (0, +∞) производная функции положительна. Это означает, что функция возрастает на этих интервалах.

4. Определим значения функции в найденных точках и на бесконечностях:

y(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 y(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = -2 При x -> +∞ или x -> -∞, y также стремится к +∞.

5. Найдем вторую производную, чтобы определить характер точек экстремума:

y'' = d^2/dx^2 (2x^3 + 3x^2 - 1) = 12x + 6

6. Найдем значение второй производной в точках x = 0 и x = -1:

y''(0) = 12(0) + 6 = 6 (положительно) y''(-1) = 12(-1) + 6 = -6 (отрицательно)

Полученные значения второй производной говорят нам о том, что в точке x = 0 у функции имеется локальный минимум, а в точке x = -1 - локальный максимум.

Б) Найдем значения параметра a, при которых уравнение 2x^3 + 3x^2 - 1 = a имеет 2 корня:

2x^3 + 3x^2 - 1 = a

Перепишем уравнение так, чтобы одна сторона равнялась нулю:

2x^3 + 3x^2 - 1 - a = 0

Условие наличия двух корней для кубического уравнения требует, чтобы дискриминант был больше или равен нулю:

D = b^2 - 4ac

В данном случае, a = 2, b = 3, c = -1 - a:

D = (3)^2 - 4 * 2 * (-1 - a) = 9 + 8(1 + a) = 9 + 8 + 8a = 8a + 17

Теперь, чтобы уравнение имело два корня, D >= 0:

8a + 17 >= 0 8a >= -17 a >= -17/8

Таким образом, при значениях параметра a, которые больше или равны -17/8, уравнение 2x^3 + 3x^2 - 1 = a будет иметь два корня.