Question

Найдите коэф-т при x^2 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении: (x+1)^44. С подробным объяснением, пожалуйста!

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти коэффициент при x^2 в выражении (x+1)^44, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. Для этого воспользуемся биномиальной теоремой, которая гласит:

(x + y)^n = Σ(C(n, k) * x^(n-k) * y^k), где Σ означает сумму по всем k от 0 до n, C(n, k) - биномиальный коэффициент "n по k" (т.е. число сочетаний из n элементов по k).

В данном случае у нас (x+1)^44, где n = 44 и y = 1. Значит, x = x и y = 1.

Таким образом, мы получаем:

(x + 1)^44 = Σ(C(44, k) * x^(44-k) * 1^k) для всех k от 0 до 44.

Теперь нам нужно найти коэффициент при x^2, то есть нам нужно найти слагаемое, где показатель x равен 2. Это произойдет, когда n-k = 2, или, иначе говоря, когда k = 44 - 2 = 42.

Таким образом, нам нужно найти значение выражения при k = 42:

C(44, 42) * x^(44-42) * 1^42

Биномиальный коэффициент C(44, 42) равен:

C(44, 42) = 44! / (42! * (44 - 42)!) = 44! / (42! * 2!)

Раскроем факториалы:

44! = 44 * 43 * 42!

2! = 2 * 1

Подставляем значения:

C(44, 42) = (44 * 43 * 42!) / (42! * 2) = 44 * 43 / 2

Теперь у нас есть биномиальный коэффициент C(44, 42):

C(44, 42) = 44 * 43 / 2 = 22 * 43 = 946

Теперь можем записать искомое выражение:

(x + 1)^44 = Σ(C(44, k) * x^(44-k) * 1^k)

(x + 1)^44 = C(44, 42) * x^(44-42) * 1^42 + ... (другие члены, в которых степень x больше 2)

(x + 1)^44 = 946 * x^2 + ... (другие члены, в которых степень x больше 2)

Таким образом, коэффициент при x^2 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (x+1)^44 равен 946.