Question

Сумма двух чисел равна 10. Найти эти числа, если сумма их кубов являеться наименьшим Алгебра 9 класс

Answer 1

Решение: Пусть эти числа равны x и y

x + y = 10

(x +y) ^ 2 = 100

x ^ 2 + 2 x y + y ^ 2 = 100 (раскрыли формулу сокращённого умножения - квадрат суммы)

x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) * (x ^ 2 - x * y + y ^ 2) (раскрыли формулу сокращённого умножения - сумма кубов)

y ^ 3 + y ^ 3 = 10 * (100 - 3 x y)

y = 10 - x

x ^ 3 + y ^ 3 = 10 * (100 - 3 * x* (10 - x))

x ^ 3 + y ^ 3 = 1000 - 30 * x + 3 * x ^ 2

x ^ 3 + y ^ 3 = 1000 - 3 * x * (10 - x)

Сумма будет наименьшей, при условии, если x * (10 - x) имеет наибольшее значение, а наибольшее оно при x = 5

Ответ: x = 5, y = 5.

Answer 2

Давайте обозначим два числа, которые нужно найти, через x и y. У нас есть два условия:

1. Сумма двух чисел равна 10: x + y = 10
2. Сумма кубов этих чисел должна быть минимальной.

Чтобы найти минимальную сумму кубов, давайте воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем квадратичном:

(a^3 + b^3) / 2 ≥ ((a + b) / 2)^3

где a и b - два числа.

Теперь подставим a = x и b = y:

(x^3 + y^3) / 2 ≥ ((x + y) / 2)^3

Мы знаем, что x + y = 10, поэтому можем заменить (x + y) в уравнении:

(x^3 + y^3) / 2 ≥ (10 / 2)^3 (x^3 + y^3) / 2 ≥ 5^3 (x^3 + y^3) / 2 ≥ 125

Таким образом, сумма кубов x и y не может быть меньше 250 (двойное от 125).

Теперь нам нужно проверить, существует ли такая комбинация чисел x и y, чтобы их сумма равнялась 10. Есть два возможных решения:

1. x = 5, y = 5
2. x = 6, y = 4

Давайте проверим, какая из этих комбинаций даст наименьшую сумму кубов:

1. x = 5, y = 5: (5^3 + 5^3) / 2 = (125 + 125) / 2 = 250

2. x = 6, y = 4: (6^3 + 4^3) / 2 = (216 + 64) / 2 = 280

Таким образом, сумма кубов чисел 5 и 5 составляет 250, что является наименьшим возможным значением для суммы кубов при условии x + y = 10.

Ответ: Числа равны 5 и 5.