Question

Доказать что сумма 13+23+...+483+493 делится на 25

Answer 1

Считаем количество членов прогрессии:

d = a2 - a1 = 23 - 13 = 10

an = a1 + nd

nd = an - a1 = 493 - 13 = 480

n = 480 / 10 = 48

Суммв всех чисел последовательности

Sn = ((a1 + a48)/2) * 48 =  ((13 + 493)/2) * 48 = 12144

12144 не делится на 25

Answer 2

a₁=13       an=293     d=23-13=10         d=493-483=10.

Sn=(a₁+an)*n/2

Sn=(2a₁+(n-1)*d)*n/2    ⇒

(a₁+an)*n/2=(2a₁+(n-1)*d)*n/2  |÷(n/2)

a₁+an=2a₁+n*d-d

n*d=an-a₁+d

n=(an-a₁+d)/d

n=(493-13+10)/10=490/10=49,   ⇒

S₄₉=(13+493)*49/2=506*49/2=253*49=12397.    

Ответ: не делится на 25.

Answer 3

Для доказательства того, что сумма ряда чисел 13 + 23 + ... + 483 + 493 делится на 25, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая Для начала, давайте проверим базовый случай, когда у нас только одно слагаемое в сумме, т.е. сумма состоит только из одного числа 13: 13 ÷ 25 = 0, остаток 13.

Очевидно, что 13 делится на 25 с остатком 13.

Шаг 2: Предположение индукции Теперь предположим, что для некоторого натурального числа k сумма первых k слагаемых (13 + 23 + ... + (10k + 3)) делится на 25, то есть (13 + 23 + ... + (10k + 3)) ≡ 0 (mod 25).

Шаг 3: Индуктивное предположение Докажем, что для (k + 1) также выполняется условие, то есть (13 + 23 + ... + (10k + 3) + (10(k + 1) + 3)) ≡ 0 (mod 25).

Шаг 4: Доказательство Рассмотрим выражение, которое нужно доказать: (13 + 23 + ... + (10k + 3) + (10(k + 1) + 3)).

Мы знаем, что (13 + 23 + ... + (10k + 3)) делится на 25, то есть (13 + 23 + ... + (10k + 3)) ≡ 0 (mod 25).

Теперь добавим к этому выражению следующее слагаемое: (10(k + 1) + 3).

(13 + 23 + ... + (10k + 3) + (10(k + 1) + 3)) ≡ (0 + (10(k + 1) + 3)) (mod 25).

Теперь упростим правую часть: (0 + (10(k + 1) + 3)) ≡ (10(k + 1) + 3) (mod 25).

Или можно записать это как: (10(k + 1) + 3) ≡ (10k + 10 + 3) ≡ (10k + 13) (mod 25).

Теперь нам нужно доказать, что (10k + 13) делится на 25: (10k + 13) ÷ 25 = k + 1, остаток 13.

Очевидно, что (10k + 13) делится на 25 с остатком 13.

Таким образом, мы доказали, что если сумма первых k слагаемых (13 + 23 + ... + (10k + 3)) делится на 25, то и сумма первых (k + 1) слагаемых ((13 + 23 + ... + (10k + 3)) + (10(k + 1) + 3)) также делится на 25.

Шаг 5: Заключение Поскольку базовый случай выполнен, и мы показали, что если условие выполняется для некоторого k, оно также выполняется для (k + 1), то по принципу математической индукции оно выполняется для всех натуральных чисел. Таким образом, сумма ряда чисел 13 + 23 + ... + 483 + 493 делится на 25.