Question

100 баллов) 3я задача. Решите 50 баллов. Если не так бан. Укажите решение sin3x*cos3x=sin2x

Answer 1

Sin3x•cos3x=sin2x
½(2sin3xcos3x)=sin2x
½sin(2•3x)=sin2x
½sin6x=sin2x
½(sin6x-2sin2x)=0
sin6x-sin2x-sin2x=0
2cos(½(6x+2x))sin (½(6x-2x))-sin2x=0
2cos4xsin2x-sin2x=0
sin2x(2cos4x-1)=0

отсюда получаем два уравнения:
первое:
sin2x=0
2x=πk, k€Z
x=½πk, k€Z
и второе:
2cos4x-1=0
cos4x=½
4x=±⅓π+2πn, n€Z
x=±(π/12)+½πn, n€Z

Ответ:


x=½πk, k€Z
или
x=±(π/12)+½πn, n€Z

Answer 2

Хорошо, давайте решим данное уравнение sin(3x) * cos(3x) = sin(2x).

Для удобства, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Произведение синуса и косинуса: sin(α) * cos(β) = (1/2) * [sin(α + β) + sin(α - β)].
2. Удвоенный угол: sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α).

Теперь заменим sin(3x) * cos(3x) в уравнении и sin(2x) с использованием этих тождеств:

(1/2) * [sin(3x + 3x) + sin(3x - 3x)] = sin(2x).

Упростим:

(1/2) * [sin(6x) + sin(0)] = sin(2x).

Так как sin(0) = 0, упрощаем выражение:

(1/2) * sin(6x) = sin(2x).

Теперь уравнение выглядит проще. Чтобы решить его, приведем к общему знаменателю:

sin(6x) = 2 * sin(2x).

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α) для преобразования правой части уравнения:

sin(6x) = sin(2 * 2x) = 2 * sin(2x) * cos(2x).

Теперь у нас есть уравнение:

2 * sin(2x) * cos(2x) = 2 * sin(2x).

Теперь можно сократить общий множитель 2 * sin(2x) с обеих сторон уравнения:

cos(2x) = 1.

Теперь найдем решение уравнения cos(2x) = 1. Это произойдет, когда значение выражения внутри косинуса равно 1. Возможные значения аргумента 2x, удовлетворяющие этому условию, это:

2x = 2π * n, где n - целое число.

Теперь найдем значения x:

x = π * n, где n - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения sin(3x) * cos(3x) = sin(2x) это x = π * n, где n - целое число.