Question

и |x-7|-|2x+4|<5 Помогите пожалуйста, скоро контрольная, а я не понимаю

Answer 1

$\frac{(3x-15)(x+6)}{8-x}\geq0$

Найдем ОДЗ (Область допустимых значений). Т.к. на ноль делить нельзя, знаменатель не должен быть равен 0. Отсюда находим:

$8-x\neq0\Leftrightarrow x\neq8$

Дальше можно решить разными способами.

Решим методом интервалов (более удобен):

$(3x-15)(x+6)=0\\3x-15=0\\3x=15\\x=5\\x+6=0\\x=-6\\x_{1}=5;x_{2}=-6$

Отмечаем точки ОДЗ и решения на координатной прямой, находим знаки для каждого промежутка и находим решение неравенства (см. прикрепленный рисунок).

P.S. Незакрашенные точки значат, что это значение не входит в промежуток (обозначается круглой скобочкой), а закрашенные - наоборот (обозначается квадратной скобочкой).

$x\in(-\infty;-6]\cup[5;8)$

Решим с помощью правила расщепления:

Т.е. существуют два случая, при которых частное $\frac{a}{b}$ может быть ≥ 0 (Нужно использовать >, < вместо ≥, ≤ соответственно для знаменателя, поскольку он не может быть равен 0):

$\left\{\begin{matrix}a\geq0\\b>0\end{matrix}\right.$ или $\left\{\begin{matrix}a\leq0\\b$

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}a\geq0\\b>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a\leq0\\b$

Зная это правило, решаем неравенство:

$\frac{(3x-15)(x+6)}{8-x}\geq0\\\frac{3(x-5)(x+6)}{8-x}\geq0$

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}3(x+6)(x-5)\geq0\\8-x>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}3(x+6)(x-5)\leq0\\8-x-8\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(x+6)(x-5)\leq0\\-x$

Решим, для удобства, неравенства отдельно.

Первое:

$(x+6)(x-5)\geq0$

Возможны два случая, когда произведение a × b может быть ≥ 0:

$\left\{\begin{matrix}a\geq0\\b\geq0\end{matrix}\right.$ или $\left\{\begin{matrix}a\leq0\\b\leq0\end{matrix}\right.$

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x+6\geq0\\x-5\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x+6\leq0\\x-5\leq0\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\geq-6\\x\geq5\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\leq-6\\x\leq5\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}x\in[5;+\infty)\\x\in(-\infty;-6]\end{matrix}\\x\in(-\infty;-6]\cup[5;+\infty)$

Второе:

$(x+6)(x-5)\leq0$

Возможны два случая, когда произведение a × b может быть ≤ 0:

$\left\{\begin{matrix}a\leq0\\b\geq0\end{matrix}\right.$ или $\left\{\begin{matrix}a\geq0\\b\leq0\end{matrix}\right.$

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x+6\leq0\\x-5\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x+6\geq0\\x-5\leq0\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\leq-6\\x\geq5\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\geq-6\\x\leq5\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}x\in\O\\x\in[-6;5]\end{matrix}\\x\in[-6;5]$

Вернемся к решению другой совокупности:

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}(x+6)(x-5)\geq0\\x8\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\in(-\infty;-6]\cup[5;+\infty)\\x\in(-\infty;8)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\in[-6;5]\\x\in(8;+\infty)\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}x\in(-\infty;-6]\cup[5;8)\\x\in\O\end{matrix}\\\\x\in(-\infty;-6]\cup[5;8)$

Учитывая ОДЗ, найдем решение:

$\left\{\begin{matrix}x\in(-\infty;-6]\cup[5;8)\\x\neq8\end{matrix}\right.\\x\in(-\infty;-6]\cup[5;8)$

Теперь решим другое неравенство.

$|x-7|-|2x+4|$

Зная, что $|x|=\left\{\begin{matrix}x,x\geq0\\-x,x$ разделим наше неравенство на 4 системы:

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}(x-7)-(2x+4)$

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x>-16\\x\geq7\\x\geq-2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>-\frac{2}{3}\\x$

$\begin{bmatrix}x\in[7;+\infty)\\x\in(-\frac{2}{3};7)\\x\in\O\\x\in(-\infty;-6)\end{matrix}$

$x\in(-\infty;-6)\cup(-\frac{2}{3};+\infty)$

Answer 2

Давайте разберем данное неравенство и найдем его решение.

Неравенство: |x - 7| - |2x + 4| < 5

Чтобы решить данное неравенство, давайте разберемся с модулями по очереди.

1. Рассмотрим первый модуль |x - 7|:

Когда выражение внутри модуля (x - 7) больше или равно нулю (x - 7 >= 0), модуль просто убирается:

x - 7 >= 0 x >= 7

Когда выражение внутри модуля (x - 7) меньше нуля (x - 7 < 0), знак меняется на противоположный и убирается модуль:

x - 7 < 0 x < 7

2. Теперь рассмотрим второй модуль |2x + 4|:

Когда выражение внутри модуля (2x + 4) больше или равно нулю (2x + 4 >= 0), модуль просто убирается:

2x + 4 >= 0 2x >= -4 x >= -2

Когда выражение внутри модуля (2x + 4) меньше нуля (2x + 4 < 0), знак меняется на противоположный и убирается модуль:

2x + 4 < 0 2x < -4 x < -2

Теперь у нас есть четыре интервала, в которых неравенство может выполняться:

1. x >= 7 и x >= -2 (оба условия должны выполняться одновременно) => x >= 7
2. x < 7 и x >= -2 => -2 <= x < 7
3. x >= 7 и x < -2 (невозможно, так как одновременно выполняться не может)
4. x < 7 и x < -2 (оба условия должны выполняться одновременно) => x < -2

Теперь объединим полученные интервалы и получим окончательное решение:

Решение: x < -2 или -2 <= x < 7

Это множество значений x, при которых неравенство |x - 7| - |2x + 4| < 5 выполняется. Надеюсь, это поможет вам подготовиться к контрольной работе! Удачи!