Question

Доказать что при каждом натуральным n>1,8n+9 не является квадратом целого числа

Answer 1

Решим данное неравенство:

n > 1,8n + 9

0,8n < -9 | :0,8

n < -11,25

Среди решений данного неравенства нет натуральных чисел, значит, мы не сможем подобрать натуральное число, которое удовлетворяло бы всем условиям.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся методом от противного. Допустим, существует натуральное число n, такое что 8n + 9 является квадратом целого числа. Пусть это квадратное целое число обозначается как k^2, где k - некоторое целое число.

Теперь мы имеем следующее уравнение:

8n + 9 = k^2

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

8n = k^2 - 9

Заметим, что правая часть уравнения представляет разность двух квадратов и может быть факторизована следующим образом:

k^2 - 9 = (k + 3)(k - 3)

Таким образом, уравнение примет вид:

8n = (k + 3)(k - 3)

Теперь обратим внимание на разложение числа 8n на простые множители. Число 8n можно представить как произведение простых множителей, и их разложение может выглядеть следующим образом:

8n = 2 * 2 * 2 * n

Теперь обратимся к разложению на множители, полученному из уравнения:

(k + 3)(k - 3)

Рассмотрим два случая:

1. Если (k + 3) и (k - 3) являются четными числами, то они оба содержат по крайней мере один множитель 2. Таким образом, их произведение также будет содержать множитель 2^2 = 4, но это не соответствует разложению 8n, которое содержит множитель 2^3 = 8. Это приводит к противоречию, и поэтому такой случай невозможен.

2. Если (k + 3) и (k - 3) являются нечетными числами, то они оба не содержат множителя 2. В этом случае, их произведение также не содержит множителя 2. Однако разложение 8n содержит множитель 2^3 = 8. Это также приводит к противоречию, и такой случай тоже невозможен.

Поскольку оба возможных случая приводят к противоречиям, предположение о том, что 8n + 9 является квадратом целого числа, неверно. Таким образом, для каждого натурального n > 1, выражение 8n + 9 не является квадратом целого числа. Доказательство завершено.