Question

Интеграл (1-cosx)/((x-sinx)^2)

Answer 1

$\int \frac{(1-cosx)dx}{(x-sinx)^2}=[\, t=x-sinx\; ,\; dt=(x-sinx)'dx=(1-cosx)dx\, ]=\\\\=\int \frac{dt}{t^2}=\int t^{-2}\, dt=\frac{t^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x-sinx}+C$

Answer 2

.....................

Answer 3

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом частей и заменой переменных. Первым шагом будет замена переменных:

Положим $u = x - \sin x$, тогда $du = (1 - \cos x)dx$.

Теперь подставим в интеграл:

$$\int \frac{1 - \cos x}{(x - \sin x)^2} dx = \int \frac{du}{u^2}$$

Теперь интеграл простой и легко вычисляется:

$$\int \frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{x - \sin x} + C$$

Где $C$ - постоянная интегрирования. Таким образом, окончательный ответ:

$$\int \frac{1 - \cos x}{(x - \sin x)^2} dx = -\frac{1}{x - \sin x} + C$$