Question

СРОЧНО!!! ВНИМАНИЕ!!! МАТЕМАТИКАМ!!! вычислить по каких действительных значениях а уравнение имеет 4 корня ПЛИЗ ПОМОГИТЕ

Answer 1

$\sf \dfrac{x^4-10a^2x^2+9a^4}{2x^2-3x-2}=0$

Раскладываем числитель и знаменатель на множители

$\sf 2x^2-3x-2=2x^2-4x+x-2=2x(x-2)+(x-2)=(2x+1)(x-2)= \\ =2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x-2) \\ \\ \\ x^4-10a^2x^2+9a^4=(x^4-10a^2x^2+25a^4)-16a^4=(x^2-5a^2)^2-16a^4= \\ =(x^2-5a^2-4a^2)(x^2-5a^2+4a^2)=(x^2-9a^2)(x^2-a^2)=(x-3a)(x+3a)(x-a)(x+a)$

В итоге исходное уравнение запишется как

$\sf \dfrac{(x-3a)(x+3a)(x-a)(x+a)}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x-2)\end{array}\right] }=0$

В числителе имеем 4 корня, но в связи с ограничениями по ОДЗ (x≠-1/2; x≠2), требуется исключить следующие случаи

$\sf -3a\neq\dfrac{1}{2} \ \ \Rightarrow \ \ a\neq-\dfrac{1}{6} \\ \\ 3a\neq\dfrac{1}{2} \ \ \Rightarrow \ \ a\neq\dfrac{1}{6} \\ \\ a\neq\dfrac{1}{2} \\ \\ -a\neq\dfrac{1}{2} \ \ \Rightarrow \ \ a\neq-\dfrac{1}{2} \\ \\ -3a \neq -2 \ \ \Rightarrow \ \ a\neq\dfrac{2}{3} \\ \\ 3a\neq-2 \ \ \Rightarrow \ \ a \neq -\dfrac{2}{3} \\ \\ a\neq-2 \\ \\ -a\neq-2 \ \ \Rightarrow \ \ a\neq 2$

А еще исключим возможность повторения корней

$\sf a \neq 0$

Ответ: $\sf a \in \left(- \infty; \ -2\right) \cup \left(-2; \ -\dfrac{2}{3}\right) \cup \left(-\dfrac{2}{3}; \ -\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{2}; \ -\dfrac{1}{6}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{6}; \ 0\right)\cup \left(0; \ \dfrac{1}{6}\right) \cup\\\cup\left(\dfrac{1}{6}; \ \dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2}; \ \dfrac{2}{3}\right)\cup\left(\dfrac{2}{3}; \ 2\right)\cup(2; \ + \infty)$

Answer 2

Хорошо, давайте решим вашу задачу.

Чтобы уравнение имело 4 корня, оно должно быть квадратным. Общий вид квадратного уравнения:

$ax^2 + bx + c = 0,$

где $a$, $b$ и $c$ - это коэффициенты, причем $a \neq 0$.

Уравнение может иметь 0, 1, 2 или 4 действительных корня в зависимости от значения дискриминанта $\Delta = b^2 - 4ac$:

1. Если $\Delta > 0$, то уравнение имеет 2 действительных корня.
2. Если $\Delta = 0$, то уравнение имеет 1 действительный корень (корень кратности 2).
3. Если $\Delta < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.
4. Если уравнение квадратное и имеет 4 корня, это возможно только тогда, когда два из этих корней являются корнями кратности 2, то есть уравнение представимо в виде $(x - r)^2(x - s)^2 = 0$, где $r$ и $s$ - действительные числа.

Таким образом, чтобы уравнение имело 4 действительных корня, оно должно иметь вид:

$(x - r)^2(x - s)^2 = 0.$

Теперь решим уравнение:

$(x - r)^2(x - s)^2 = 0.$

Раскроем квадраты:

$(x - r)(x - r)(x - s)(x - s) = 0.$

Теперь мы видим, что у нас два множителя, каждый из которых должен равняться нулю, чтобы весь произведение было равно нулю:

$(x - r) = 0 \quad \text{или} \quad (x - s) = 0.$

Решим эти два уравнения:

1. $x - r = 0 \Rightarrow x = r$.
2. $x - s = 0 \Rightarrow x = s$.

Таким образом, уравнение имеет 4 корня при любых значениях $r$ и $s$.

Важно отметить, что уравнение вида $(x - r)^2(x - s)^2 = 0$ всегда будет иметь 4 корня, даже если $r$ и $s$ равны между собой.

Если у вас есть конкретные значения для коэффициентов $a$, $b$ и $c$, пожалуйста, предоставьте их, и я помогу рассчитать значения $r$ и $s$.