Question

Решите уравнение 6sin^2 x - 2sinx * cosx - 2cos^2 x = 1

Answer 1

6sin²x - 2sinx*cosx - 2cos²x = 1

представим 1 = sin²x + cos²x и перенесем все в левую часть

5sin²x - 2sinx*cosx - 3cos²x = 0 | cos²x ≠ 0

5tg²x - 2tgx - 3 = 0

Пусть tgx = t, t ∈ R. Тогда имеем следующее уравнение

5t² - 2t - 3 = 0

D = 4 + 60 =64, √D = 8

t1 = 1

t2 = -3/5

Обратная замена

tgx = 1 или tgx = -3/5

x = π/4 + πk, k ∈ Z или x = - arctg(3/5) + πn, n ∈ Z

Ответ: x = π/4 + πk, k ∈ Z или x = - arctg(3/5) + πn, n ∈ Z

Answer 2

Для решения уравнения, давайте преобразуем его и попробуем найти значения переменной x.

Исходное уравнение: $6\sin^2 x - 2\sin x \cdot \cos x - 2\cos^2 x = 1$

Для решения воспользуемся формулами тригонометрии. Первая формула, которая нам пригодится, это: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Теперь перепишем уравнение с учётом этой формулы: $6\sin^2 x - 2\sin x \cdot \cos x - 2(1 - \sin^2 x) = 1$

Упростим: $6\sin^2 x - 2\sin x \cdot \cos x - 2 + 2\sin^2 x = 1$

Объединим подобные слагаемые: $8\sin^2 x - 2\sin x \cdot \cos x - 2 = 1$

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: $8\sin^2 x - 2\sin x \cdot \cos x - 3 = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\sin x$: $8\sin^2 x - 2\sin x \cdot \cos x - 3 = 0$

Чтобы решить квадратное уравнение, можно воспользоваться дискриминантом: $D = b^2 - 4ac$

где у нас есть $a = 8$, $b = -2\cos x$, и $c = -3$.

Теперь найдем дискриминант: $D = (-2\cos x)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4\cos^2 x + 96$

Уравнение имеет два корня, если $D > 0$. Если $D = 0$, уравнение имеет один корень, а если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

$D = 4\cos^2 x + 96$

Теперь нужно решить уравнение для $\sin x$ с учетом дискриминанта:

Если $D > 0$: $\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $\sin x = \frac{2\cos x \pm \sqrt{4\cos^2 x + 96}}{16}$

Если $D = 0$: $\sin x = \frac{-b}{2a}$ $\sin x = \frac{\cos x}{8}$

Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Теперь, для каждого значения $\cos x$, мы можем найти соответствующие значения $\sin x$ и далее найти значения $x$ через обратные тригонометрические функции.