Question

При яких значеннях m розвязком нерівності x^2-6x+m<0 є проміжок (1;5)?

Answer 1

.....................................

Answer 2

Щоб знайти значення параметра m, при яких нерівність x^2 - 6x + m < 0 має розв'язок у проміжку (1; 5), слід виконати наступні кроки:

1. Знайти вершину параболи, яка є графіком функції x^2 - 6x + m. Вершина параболи знаходиться за формулами x = -b / (2a) та y = f(-b / (2a)), де a, b та c - це коефіцієнти квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0.

2. З'ясувати, в якому інтервалі x парабола перетинає вісь X (ось абсцис).

3. Перевірити, чи цей інтервал знаходиться в проміжку (1; 5).

Розглянемо кожен крок детальніше:

1. Коефіцієнти квадратного рівняння: a = 1, b = -6, c = m.

Вершина параболи знаходиться при x = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3.

Значення функції у вершині параболи: y = (3)^2 - 6(3) + m = 9 - 18 + m = m - 9.

2. Інтервал, на якому парабола перетинає вісь X, визначається значенням дискримінанта квадратного рівняння (b^2 - 4ac). Якщо дискримінант більше за нуль, то парабола перетинає вісь X в двох точках, якщо дорівнює нулю - в одній точці, а якщо менше нуля - не перетинає взагалі.

Дискримінант: D = (-6)^2 - 4 * 1 * m = 36 - 4m.

3. Щоб нерівність x^2 - 6x + m < 0 мала розв'язок у проміжку (1; 5), парабола повинна перетинати вісь X у проміжку між 1 та 5. Це означає, що вершина параболи має знаходитись на відрізку між 1 та 5 і її значення функції m - 9 має бути менше нуля.

Отже, маємо дві умови:

1. 1 < 3 < 5 - вершина параболи знаходиться між 1 та 5.
2. m - 9 < 0 - значення функції у вершині параболи має бути менше нуля.

Об'єднавши ці дві умови, отримуємо:

1 < 3 < 5 і m - 9 < 0.

З першої умови бачимо, що вона завжди виконується, а отже, умови зводяться до:

m - 9 < 0.

Тепер розв'язуємо нерівність:

m < 9.

Отже, при значеннях m менше 9 нерівність x^2 - 6x + m < 0 матиме розв'язок у проміжку (1; 5).