Вопрос задан 22.07.2023 в 08:50. Предмет Алгебра. Спрашивает Королёнок Саша.

Помогите решить уравнение ctg(x+pi/4)=tg(2x-pi/4)

Перейти к ответам

Отвечу на вопрос мгновенно! Нейросеть ChatGPT. Жми!

Ответы на вопрос

Внимание! Ответы на вопросы дают живые люди. Они могут содержать ошибочную информацию, заблуждения, а также ответы могут быть сгенерированы нейросетями. Будьте внимательны. Если вы уверены, что ответ неверный, нажмите кнопку "Пожаловаться" под ответом.

Отвечает Галимова Диана.

$ctg(x+\frac{\pi }{4})=tg(2x-\frac{\pi}{4})\\\\ODZ:\; \; sin(x+\frac{\pi}{4})\ne 0\; ,\; cos(2x-\frac{\pi}{4})\ne 0\; ,\\\\\star \; \; ctga=tg(\frac{\pi}{2}-a)\; \; \to \; \; ctg(x+\frac{\pi}{4})=tg(\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{4})=tg(\frac{\pi}{4}-x)\; \star \\\\tg(\frac{\pi}{4}-x)=tg(2x-\frac{\pi}{4})\; \; ,\; \; \; \; tg\frac{\pi}{4}=1\\\\\frac{1-tgx}{1+1\cdot tgx}=\frac{tg2x-1}{1+1\cdot tg2x}\\\\\frac{1-tgx}{1+tgx}=\frac{tg2x-1}{1+tg2x}\\\\\frac{(1-tgx)(1+tg2x)-(tg2x-1)(1+tgx)}{(1+tgx)(1+tg2x)}=0$

$\frac{2-2tgx\vfot tg2x}{(1+tgx)(1+tg2x)}=0\; \; \to \; \; \frac{2\cdot (1-tgx\cdot tg2x)}{(1+tgx)(1+tg2x)}=0\; \; \to \; \; \left \{ {{tgx\cdot tg2x=1} \atop {1+tgx\ne 0;\; 1+tg2x\ne 0}} \right.\\\\\frac{sinx\cdot sin2x}{cosx\cdot cos2x}=1\; \; \to \; \; \frac{sinx\cdot sin2x}{cosx\cdot cos2x}-1=0\; ,\; \; \frac{sinx\cdot sin2x-cosx\cdot cos2x}{cosx\cdot cos2x} =0\; ,\\\\\frac{-cos(x+2x)}{cosx\cdot cos2x}=0\; ,\; \; \frac{cos3x}{cosx\cdot cos2x}=0\; \; \to \; \; \left \{ {{cos3x=0} \atop {cosx0\; ,\; cos2x\ne 0ne }} \right.$

$cos3x=0\; ,\; 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n\; \; ,\; \; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z\\\\cosx\ne 0\; ,\; \; x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k\; ,\; k\in Z\\\\cos2x\ne 0\; ,\; \; x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi m}{2}\; ,\; m\in Z\\\\tgx\ne -1\; ,\; \; x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi l\; ,\; l\in Z\\\\tg2x\ne -1\; ,\; \; x\ne -\frac{\pi}{8}+\frac{\pi t}{2}\; ,\; t\in Z\\\\Otvet:\; \; x=\frac{\pi}{6}+\pi n\; ,\; \; x=\frac{5\pi }{6}+\pi n\; ,\; n\in Z\; .$

Отвечает нейросеть ChatGpt. Будьте внимательны, ответы нейросети могут содержать ошибочные или выдуманные данные.

Для решения уравнения ctg(x + π/4) = tg(2x - π/4), сначала преобразуем тангенсы и котангенсы в функции синусов и косинусов, используя тригонометрические тождества:

ctg(x) = 1/tg(x) = cos(x)/sin(x)
tg(x) = sin(x)/cos(x)

Теперь заменим котангенс и тангенс в уравнении:

cos(x + π/4)/sin(x + π/4) = sin(2x - π/4)/cos(2x - π/4)

Далее упростим обе стороны уравнения, умножив числитель и знаменатель дроби слева на cos(π/4), а числитель и знаменатель дроби справа на cos(π/4):

cos(x + π/4) * cos(π/4) / (sin(x + π/4) * cos(π/4)) = sin(2x - π/4) * cos(π/4) / (cos(2x - π/4) * cos(π/4))

Теперь применим тригонометрические тождества для cos(a ± b):

cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Используем эти тождества в уравнении:

(cos(x) * cos(π/4) - sin(x) * sin(π/4)) / (sin(x) * cos(π/4) + cos(x) * sin(π/4)) = (sin(2x) * cos(π/4) - cos(2x) * sin(π/4)) / (cos(2x) * cos(π/4) + sin(2x) * sin(π/4))

Упростим коэффициенты перед синусами и косинусами:

(cos(x) * (1/√2) - sin(x) * (1/√2)) / (sin(x) * (1/√2) + cos(x) * (1/√2)) = (sin(2x) * (1/√2) - cos(2x) * (1/√2)) / (cos(2x) * (1/√2) + sin(2x) * (1/√2))

Теперь умножим обе стороны уравнения на √2, чтобы избавиться от знаменателей:

cos(x) - sin(x) = √2 * (sin(2x) - cos(2x))

Раскроем синус и косинус удвоенного угла:

cos(x) - sin(x) = √2 * (2 * sin(x) * cos(x) - (1 - 2 * sin^2(x)))

Теперь объединим все члены уравнения:

cos(x) - sin(x) = √2 * (2 * sin(x) * cos(x) - 1 + 2 * sin^2(x))

Теперь решим уравнение относительно sin(x) и cos(x). Напомним, что cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

cos(x) - sin(x) = √2 * (2 * sin(x) * cos(x) - 1 + 2 * (1 - cos^2(x)))

Распишем умножение:

cos(x) - sin(x) = √2 * (2 * sin(x) * cos(x) - 1 + 2 - 2 * cos^2(x))

Упростим:

cos(x) - sin(x) = √2 * (2 * sin(x) * cos(x) - 2 * cos^2(x) + 1)