Question

Найдите точки минимума функции y=x+x^-1 ​

Answer 1

$f(x)=x+x^{-1}\\f'(x)=1-1x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}$

На координатной прямой х, отмечаем точки 1 и -1, получается что производная положительная (функция возрастает), когда x>1 и x<-1, а отрицательна (функция убывает), когда -1<x<1, в точках -1 и 1 производная равна нулю, а знак с минуса на плюс меняется в точке 1, значит точка минимума x=1

Ответ: 1.

Answer 2

Для нахождения точек минимума функции $y = x + \frac{1}{x}$, нужно найти значения переменной $x$, при которых производная функции равна нулю.

Сначала найдем производную функции $y$ по переменной $x$: $y' = \frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2}$

Теперь приравняем $y'$ к нулю и решим уравнение: $1 - \frac{1}{x^2} = 0$

Чтобы решить уравнение, приведем его к общему знаменателю: $x^2 - 1 = 0$

Факторизуем уравнение: $(x + 1)(x - 1) = 0$

Теперь находим значения $x$:

1. $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
2. $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = -1$ и $x = 1$.

Теперь проверим вторую производную функции $y$ для каждой из этих точек, чтобы убедиться, что это точки минимума.

Вычислим вторую производную: $y'' = \frac{d^2}{dx^2}\left(x + \frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right) = \frac{2}{x^3}$

Подставим $x = -1$ и $x = 1$ в $y''$:

1. При $x = -1$: $y'' = \frac{2}{(-1)^3} = -2$ (отрицательное значение).
2. При $x = 1$: $y'' = \frac{2}{1^3} = 2$ (положительное значение).

Для $x = -1$ получаем $y'' < 0$, что означает, что это точка локального максимума. Для $x = 1$ получаем $y'' > 0$, что означает, что это точка локального минимума.

Таким образом, точка $x = 1$ является точкой минимума функции $y = x + \frac{1}{x}$. Значение функции в этой точке будет: $y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$

Также стоит отметить, что в данной функции $y = x + \frac{1}{x}$ нет точки минимума в традиционном смысле, так как $y$ не ограничена снизу и может принимать отрицательные значения, а $x = 0$ является точкой разрыва функции. Однако, точка $x = 1$ является локальным минимумом.