Question

найдите промежутки возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума функции f(x) =x^3-3x^2-9x​

Answer 1

1. Найдем производную данной функции

f ` (x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x² - 2x - 3)

2. Приравняем к нулю производную и найдем точки экстремума.

f ` (x) = 0 ⇒ x² - 2x -3 = 0 ⇒ (x-3)(x+1) = 0

3. Строим числовую прямую, отмечаем точки 3 и -1 ( на рисунке)

Замечаем, что точка максимума функции это -1, а точка минимума это 3

Функция возрастает на промежутке ( - ∞; -1] V [3 ; +∞)

Функция убывает на промежутке от [-1; 3]

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, а также точек максимума и минимума, нужно проанализировать производную функции и найти её корни.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 6x - 9

2. Найдем точки, где производная равна нулю (корни уравнения f'(x) = 0): 3x^2 - 6x - 9 = 0 Выносим общий множитель из уравнения: 3(x^2 - 2x - 3) = 0 Теперь решим квадратное уравнение: x^2 - 2x - 3 = 0

Для решения квадратного уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac где a = 1, b = -2 и c = -3.

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два действительных корня: x = (-b ± √D) / 2a x = (2 ± √16) / 2 x = (2 ± 4) / 2

Таким образом, получаем два корня: x1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 x2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

3. Теперь определим знаки производной на интервалах между найденными корнями и за пределами этих корней.

Подставим значения x1, x2 и значения, лежащие вне этих корней, например, x = 0, x = 4, в производную f'(x):

f'(0) = 3 * (0)^2 - 6 * 0 - 9 = -9 (отрицательное) f'(3) = 3 * (3)^2 - 6 * 3 - 9 = 0 (нулевое) f'(-1) = 3 * (-1)^2 - 6 * (-1) - 9 = 0 (нулевое) f'(4) = 3 * (4)^2 - 6 * 4 - 9 = 15 (положительное)

Теперь мы можем определить промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума:

1. Промежуток убывания: (-∞, -1)
2. Промежуток возрастания: (-1, 3)
3. Промежуток убывания: (3, +∞)

Так как у нас только одна стационарная точка (x = 3), а вторая (x = -1) не является точкой экстремума (функция пересекает горизонтальную ось в этой точке), то точкой минимума будет точка x = 3.

Теперь найдем значение функции в этой точке: f(3) = 3^3 - 3 * 3^2 - 9 * 3 = 27 - 27 - 27 = -27

Таким образом, минимум функции f(x) равен -27 и достигается в точке x = 3.

Для данной функции нет максимума, так как она стремится к плюс бесконечности при x → -∞ и к минус бесконечности при x → +∞.