Question

Решите пожалуйста уравнение: 5sin^2 x-2sinxcosx+cos^2 x=4 ПРОШУУ Даю 30 баллов

Answer 1

5sin^2 x - 2sin x*cos x + cos^2 x = 4sin^2 x + 4cos^2 x

sin^2 x - 2sin x*cos x - 3cos^2 x = 0

Делим всё на cos^2 x ≠ 0

tg^3 x - 2tg x - 3 = 0

(tg x + 1)(tg x - 3) = 0

tg x = -1; x1 = -Π/4 + Π*k, k € Z

tg x = 3; x2 = arcctg(3) + Π*n, n € Z

Answer 2

Для решения уравнения 5sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 4, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать его в более простую форму. Заметим, что левая часть уравнения может быть переписана с использованием тождества cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

5sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 4 (5sin^2(x) + cos^2(x)) - 2sin(x)cos(x) = 4 5sin^2(x) + cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 4

Теперь заменим 5sin^2(x) на (1 - cos^2(x)), чтобы получить уравнение с одной переменной:

(1 - cos^2(x)) + cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 4 1 - 2sin(x)cos(x) = 4

Теперь выразим sin(x)cos(x) через одну из тригонометрических функций. Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), поэтому:

1 - sin(2x) = 4

Теперь выразим sin(2x):

sin(2x) = 1 - 4 sin(2x) = -3

Теперь найдем все значения x, удовлетворяющие этому уравнению. Для этого возьмем обратный синус от обеих сторон:

2x = arcsin(-3)

Так как диапазон обратного синуса ограничен от -π/2 до π/2, у нас не будет реальных решений для данного уравнения. Значит, уравнение 5sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 4 не имеет решений в действительных числах.