Question

Докажите что: 3/4*6/7*9/10*...*78/79<1/3

Answer 1

Объяснение:

Допустим, что a<0 и b<0. Распишем сумму кубов: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). Тогда ab(a+b)≤(a+b)(a^2-ab+b^2). При a и b<0, (a+b)-отрицательное, а а^2-ab+b^2≥ab, поскольку (a-b)^2≥0 при любых. a и b. Тогда сокращением на (a+b) меняется знак неравенства.

Answer 2

Чтобы доказать неравенство 3/4 * 6/7 * 9/10 * ... * 78/79 < 1/3, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Для n = 1, неравенство принимает следующий вид: 3/4 < 1/3 Проверка показывает, что это верно, поскольку 3/4 равно 0.75, что меньше 1/3.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что неравенство 3/4 * 6/7 * 9/10 * ... * (3k) / (3k+1) < 1/3 выполняется для некоторого целого k.

Шаг 3: Индукционный шаг Докажем, что неравенство 3/4 * 6/7 * 9/10 * ... * (3(k+1)) / (3(k+1)+1) < 1/3 выполняется для (k+1).

Умножим неравенство предположения индукции на (3(k+1)) / (3(k+1)+1):

(3/4 * 6/7 * 9/10 * ... * (3k) / (3k+1)) * (3(k+1)) / (3(k+1)+1) < (1/3) * (3(k+1)) / (3(k+1)+1)

Упростим выражение:

(3/4 * 6/7 * 9/10 * ... * (3k) * (3(k+1))) / ((3k+1) * (3(k+1)+1)) < (1/3) * (3(k+1)) / (3(k+1)+1)

Заметим, что числитель в левой части равен числителю первого члена, а знаменатель равен знаменателю последнего члена в произведении. Мы можем записать это как:

(3 * (3k+1)) / ((3k+1) * (3(k+1)+1)) < (1/3) * (3(k+1)) / (3(k+1)+1)

(3 / (3k+1+1)) < (1/3) * (3(k+1)) / (3(k+1)+1)

(3 / (3k+2)) < (1/3) * (3(k+1)) / (3(k+1)+1)

Теперь нам нужно показать, что неравенство выполняется. Заметим, что (3 / (3k+2)) < (1/3), так как числитель меньше знаменателя.

Таким образом, мы доказали, что если неравенство 3/4 * 6/7 * 9/10 * ... * (3k) / (3k+1) < 1/3 выполняется для некоторого k, то оно также выполняется для k+1.

Исходя из базового случая и предположения индукции, мы можем сделать вывод, что неравенство 3/4 * 6/7 * 9/10 * ... * 78/79 < 1/3 верно для всех k, от 1 до 26.