Question

Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функций у=5-x^2 и у=x^2-2x+1 ​

Answer 1

.................................

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = 5 - x^2 и у = x^2 - 2x + 1, необходимо определить точки их пересечения, а затем найти интеграл от разности между функциями в этом интервале. Таким образом, площадь фигуры будет равна модулю этого интеграла.

1. Определим точки пересечения графиков, приравняв уравнения: 5 - x^2 = x^2 - 2x + 1

2. Приведем уравнение к одной стороне: 2x^2 - 2x - 4 = 0

3. Решим квадратное уравнение: Для этого используем формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac: D = (-2)^2 - 4 * 2 * (-4) = 4 + 32 = 36

Теперь найдем два корня уравнения: x = (-(-2) + √36) / (2 * 2) = (2 + 6) / 4 = 8 / 4 = 2 x = (-(-2) - √36) / (2 * 2) = (2 - 6) / 4 = -4 / 4 = -1

Таким образом, графики пересекаются в точках x = -1 и x = 2.

4. Теперь вычислим интеграл от разности функций в этом интервале: S = ∫[от -1 до 2] [(5 - x^2) - (x^2 - 2x + 1)] dx

Упростим выражение в интеграле: S = ∫[от -1 до 2] [5 - x^2 - x^2 + 2x - 1] dx S = ∫[от -1 до 2] [4 - 2x^2 + 2x] dx

Теперь найдем интеграл: S = [4x - (2/3)x^3 + x^2] [от -1 до 2] S = [4 * 2 - (2/3) * 2^3 + 2^2] - [4 * (-1) - (2/3) * (-1)^3 + (-1)^2] S = [8 - (2/3) * 8 + 4] - [-4 + (2/3) - 1] S = [8 - 16/3 + 4] - [-4 + 2/3 - 1] S = (12/3) - (-7 + 2/3) S = 4 - (-7 + 2/3) S = 4 + 7 - 2/3 S = 11 - 2/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = 5 - x^2 и у = x^2 - 2x + 1, равна 11 - 2/3 или 10 1/3 квадратных единиц.